Kezdőlap


Feladat:	3700. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Vigh Máté
Füzet:	2005/január, 52 - 53. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Adiabatikus állapotváltozás, Izobár állapotváltozás (Gay-Lussac I. törvénye), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/március: 3700. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A levegő kétatomos gáz, szabadsági fokainak száma $f = 5$ , fajhőhányadosa: $κ = 7 / 5$ .

Az adiabatikus állapotváltozások egyenlete (Poisson-egyenlet)

p V^{κ} = állandó

, az izobár folyamaté pedig

p V = állandó

(Boyle‐Mariotte-törvény). Az ábra jelöléseit használva felírható:

\begin{matrix} V_{1} & = {(\frac{p_{1}}{p^{*}})}^{\frac{5}{7}} \cdot V_{0}, \\ V_{2} & = \frac{p_{1}}{p^{*}} \cdot V_{0}, \\ V_{3} & = {(\frac{p^{*}}{p_{2}})}^{\frac{5}{7}} \cdot \frac{p_{1}}{p^{*}} \cdot V_{0} . \end{matrix}

A folyamat során végzett munka három tag összegeként írható fel. Az első adiabatikus összenyomásnál a gázon végzett munka a belső energiát növeli:

\begin{matrix} W_{1} = Δ E_{b1} = \frac{f}{2} (p^{*} V_{1} - p_{1} V_{0}) = \frac{5}{2} [p^{*} {(\frac{p_{1}}{p^{*}})}^{\frac{5}{7}} - p_{1}] V_{0} . \end{matrix}

Az izobár összenyomásnál a munka a ,,görbe'' alatti (téglalap) területével egyenlő:

\begin{matrix} W_{2} = p^{*} (V_{1} - V_{2}) = [p^{*} {(\frac{p_{1}}{p^{*}})}^{\frac{5}{7}} - p_{1}] V_{0}; \end{matrix}

végül a második adiabatikus összenyomásnál

\begin{matrix} W_{3} = Δ E_{b3} = \frac{f}{2} (p_{2} V_{3} - p^{*} V_{2}) = \frac{5}{2} [p_{2} {(\frac{p^{*}}{p_{2}})}^{\frac{5}{7}} \frac{p_{1}}{p^{*}} - p_{1}] V_{0} . \end{matrix}

A teljes munkavégzés:

W = W_{1} + W_{2} + W_{3}

, ami algebrai átalakítások után az alábbi alakra hozható:

\begin{matrix} W = \frac{1}{2} p_{1} V_{0} \cdot [- 12 + {5 {(\frac{p_{2}}{p^{*}})}^{\frac{2}{7}} + 7 {(\frac{p^{*}}{p_{1}})}^{\frac{2}{7}}}] . \end{matrix}

Látható, hogy

W

akkor a legkevesebb, amikor a kapcsos zárójelben álló kifejezés minimális, ez pedig ‐ a számtani és mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenség szerint ‐ a zárójelben álló két tag egyenlőségénél teljesül:

\begin{matrix} 5 {(\frac{p_{2}}{p^{*}})}^{\frac{2}{7}} = 7 {(\frac{p^{*}}{p_{1}})}^{\frac{2}{7}}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} p^{*} = {(\frac{5}{7})}^{\frac{7}{4}} \cdot \sqrt[]{p_{1} p_{2}} \approx 0, 55 \cdot \sqrt[]{p_{1} p_{2}} . \end{matrix}

Ez lesz az a

p^{*}

nyomás, amelyre a végzett munka minimális, feltéve, hogy

p^{*} > p^{*}

, azaz

\begin{matrix} \frac{p_{1}}{p_{2}} < 0, 55^{2} \approx 0, 3. \end{matrix}

Amennyiben ez a feltétel nem teljesül, úgy

p^{*} = p_{1}

lesz a kérdezett nyomás, és a folyamat csak egyetlen adiabatikus összenyomásból áll.