Kezdőlap


Feladat:	C.743	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Numan Réka
Füzet:	2005/január, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos egyenlőtlenségek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/december: C.743

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A logaritmus értelmezéséből adódik, hogy $x > 0$ , $x \neq 1$ és $2, 5 - \frac{1}{x} > 0$ miatt $x > \frac{2}{5}$ . Írjuk át az egyenlőtlenség jobb oldalát is logaritmikus alakba:

\begin{matrix} log_{x} (2, 5 - \frac{1}{x}) > log_{x} x . \end{matrix}

Tudjuk, hogy a logaritmusfüggvény szigorúan monoton, mégpedig, ha az alap 1-nél nagyobb, akkor szigorúan monoton nő, ha 1-nél kisebb, akkor fogy. Először vizsgáljuk az egyenlőtlenséget, ha

\frac{2}{5} < x < 1

; ekkor

2, 5 - \frac{1}{x} < x

. Rendezés után a

2 x^{2} - 5 x + 2 > 0

egyenlőtlenséghez jutunk. A

2 x^{2} - 5 x + 2 = 0

másodfokú egyenlet gyökei

\begin{matrix} x_{1} = \frac{5 + \sqrt[]{25 - 16}}{4} = 2, x_{2} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

A függvény pozitív, ha

x < \frac{1}{2}

vagy

x > 2

, ezt összevetve az

x

-re adott feltételeinkkel, az egyenlőtlenség megoldása:

\frac{2}{5} < x < \frac{1}{2}

.
Ha

x > 1

, akkor

2, 5 - \frac{1}{x} > x

. Rendezve az egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} 2 x^{2} - 5 x + 2 < 0, \end{matrix}

ami akkor teljesül, ha

\frac{1}{2} < x < 2

. Ebben az esetben a feltétel miatt az egyenlőtlenség megoldása:

1 < x < 2

.
Az egyenlőtlenség tehát a

(\frac{2}{5}; \frac{1}{2}) \cup (1; 2)

halmaz elemeire teljesül.