Feladat: Gy.1931 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1981/március, 116. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Mértani helyek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/október: Gy.1931

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rajzoljunk be a háromszögbe egy megfelelő P1P2P3P4 téglalapot, ahol P1, P2 az AB oldal pontjai és P3P4∥P1P2. Ismeretes, hogy az átló metszéspontja megegyezik a téglalap középvonalainak metszéspontjával, jelöljük ezt M-mel.


A téglalap AB oldallal párhuzamos P3P4 oldalának Q felezőpontja rajta van az ABC háromszög C csúcsából kiinduló CD súlyvonalán, hiszen ez a súlyvonal az AB oldallal párhuzamosan húzott szakaszok mindegyikét felezi. Ha Q-ból merőlegest állítunk AB-re, ennek az AB oldalig terjedő QR szakasza a téglalap egyik középvonala, és M a QR szakasz felezőpontja. Emiatt rajta van a CDE háromszög D-ből induló súlyvonalán, ahol E a C pont vetülete az AB-re. (Ha E azonos D-vel, vagyis AC=BC, akkor a C, D, E pontok egy egyenesen vannak, és M is ezen van rajta.) Jelöljük a CE felezőpontját F-vel, akkor a keresett mértani hely a DF szakasz.
Megmutatjuk, hogy a DF szakasz minden belső pontjához található egy megfelelő téglalap. Vegyünk fel a DF szakaszon egy tetszőleges M pontot és a rajta átmenő, AB-re merőleges egyenes CD-vel alkotott metszéspontját jelöljük Q-val, az AB-vel való metszéspontját R-rel. A Q ponton át az AB-vel húzott párhuzamos metszi ki az AC, ill. BC oldalakból a P3 és P4 csúcsait a keresett téglalapnak. A téglalapban M valóban az átlók metszéspontja, mert pontja a DF súlyvonalnak, így felezi a QR-t is, másrészt Q a CD súlyvonalnak pontja, mely felezi az AB-vel párhuzamos szakaszok mindegyikét, így P3P4-et is.