Kezdőlap


Feladat:	Gy.2573	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Párniczky Benedek
Füzet:	1991/március, 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kocka, Kombinációk, Térgeometria alapjai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/szeptember: Gy.2573

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1990. novemberi számban jelent meg a fenti gyakorlat megoldása, vagyis azon síkok számának a meghatározása, amelyek egy adott kockának legalább három élfelező pontját tartalmazzák. Az ismertetett megoldás egy részének felhasználásával a keresett számot becslések segítségével is megkaphatjuk.
Nevezzük a keresett síkokat jónak, jó háromszögnek pedig azokat, amelyeknek a csúcsai a kocka élfelezőpontjai. Jelöljük $S_{i}$ -vel a pontosan $i$ darab élfelezőpontot tartalmazó jó síkok halmazát, $| S |_{i} |$ -vel pedig ezeknek a síkoknak a számát. A feladat ekkor $Σ_{i \geq 3} | S_{i} |$ meghatározása. A megoldás két részből fog állni:
1. Néhány jó sík (ill. azok számának) megadása.
2. Annak igazolása, hogy a megadottakon kívül nincs több jó sík.
Az 1. ponthoz használjuk fel a lapban közölt megoldásnak azt az eredményét, mely szerint $| S_{3} | \geq 56, | S_{4} | \geq 21, | S_{5} | \geq 4$ (ez lényegében leolvasható a 388-389. oldalon a 2., 3., 4., 5. és 7. ábrákról). Másrészt a $12$ élfelező pont összesen $(\binom{12}{3})$ jó háromszöget határoz meg, és egy $S_{i}$ -beli jó síkra $(\binom{i}{3})$ jó háromszög illeszkedik.
Így

\begin{matrix} 220 = (\binom{12}{3}) = \sum_{i \geq 3}^{} | S_{i} | (\binom{i}{3}) \geq | S_{3} | (\binom{3}{3}) + | S_{4} | (\binom{4}{3}) + | S_{6} | (\binom{6}{3}) \geq \end{matrix}

\begin{matrix} \geq 56 \cdot (\binom{3}{3}) + 21 \cdot (\binom{4}{3}) + 4 \cdot (\binom{6}{3}) = 220. \end{matrix}

Mivel a legkisebbként kapott rész is

220

, ezért mindenütt egyenlőség van, azaz

| S_{3} | = 56, | S_{4} | = 21

és

| S_{6} | = 4

, és

i \neq 3,4,6

esetén

| S_{i} | = 0

. Tehát a viszonylag könnyen megadható

56 + 21 + 4 = 81

darab jó sík tartalmazza az összes (

220

db) jó háromszöget, azaz valamennyi jó síkot felsoroltuk.

Párniczky Benedek (I. o. t.)