Kezdőlap


Feladat:	B.3773	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dobos Gábor , Eckert Bernadett
Füzet:	2005/április, 224. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, kongruenciák, Oszthatóság, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/december: B.3773

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Megmutatjuk, hogy az adott szám osztható 323-mal. A bizonyítást két részletben végezzük el. A 323 felbontható két prímszám, a 17 és a 19 szorzatára. Ha bebizonyítjuk, hogy a kifejezés mindkét számmal osztható, akkor megoldottuk a feladatot. Sőt, ennél többet is: a 2004 helyett bármely páros hatványra be tudjuk látni az oszthatóságot.
Első lépésben nézzük meg a 17-tel való oszthatóságot. Ehhez csoportosítsuk át a tagokat, legyen $(20^{2 k} - 3^{2 k}) + (16^{2 k} - 1)$ a sorrend. Ekkor ismert azonosság alapján mindkét zárójelből ki tudunk emelni 17-et. (Az $a^{n} - b^{n}$ kifejezésből kiemelhető $a - b$ , illetve az $a^{2 n} - b^{2 n}$ kifejezésből kiemelhető $a - b$ és $a + b$ , azaz $a^{2} - b^{2}$ .) Az első zárójelből kiemelhető $20 - 3 = 17$ , a másodikból pedig $16^{2} - 1^{2} = 255$ , ami a 17 és a 15 szorzata. Ezzel a 17-tel való oszthatóságot beláttuk.
Most ismét átcsoportosítunk a 19 kiemeléséhez: $(20^{2 k} - 1^{2 k}) + (16^{2 k} - 3^{2 k})$ . Az előbbiek szerint az első tagból kiemelhető $20 - 1 = 19$ , a másodikból pedig $16 + 3 = 19$ . Ezzel a 19-cel való oszthatóságot is beláttuk.
Ezzel megoldottuk a feladatot bármely páros kitevőjű hatványra, tehát 2004-re is.

II. megoldás. Mivel

323 = 17 \cdot 19

és

(17; 19) = 1

, azért a vizsgált kifejezés akkor és csak akkor osztható 323-mal, ha osztható 17-tel és 19-cel is.
Vizsgáljuk először a 17-tel való oszthatóságot:

\begin{matrix} 20 & \equiv 3 (mod 17), & amiből 20^{2004} & \equiv 3^{2004} (mod 17) . \\ 16 & \equiv - 1 (mod 17), & amiből 16^{2004} & \equiv 1^{2004} (mod 17) . \end{matrix}

Így

17 ∣ 20^{2004} - 3^{2004} + 16^{2004} - 1

.
Most vizsgáljuk a 19-cel való oszthatóságot:

\begin{matrix} 20 & \equiv 1 (mod 19), & amiből 20^{2004} & \equiv 1^{2004} (mod 19) . \\ 16 & \equiv - 3 (mod 19), & amiből 16^{2004} & \equiv 3^{2004} (mod 19) . \end{matrix}

Így

19 ∣ 20^{2004} - 1 + 16^{2004} - 3^{2004}

.
Tehát

323 ∣ 20^{2004} + 16^{2004} - 3^{2004} - 1

.
(A megoldás során csak azt használtuk fel, hogy a 2004 páros, ezért az állítás bármilyen páros kitevőre igaz.)