Kezdőlap


Feladat:	B.3767	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth Zoltán , Varga Attila József
Füzet:	2005/április, 222 - 223. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Háromszögek geometriája, Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/november: B.3767

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. $sin γ \neq 0$ (mivel egy háromszög szögéről van szó), ezért oszthatunk $sin γ$ -val:

\begin{matrix} \frac{sin α}{sin γ} + \frac{sin β}{sin γ} = cos α + cos β . \end{matrix}

A szinusztétel alapján kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = cos α + cos β . \end{matrix}

Írjuk fel a koszinusztételt

a

-ra és

b

-re, majd fejezzük ki a

cos α

és

cos β

értékét. Ezeket beírva a következőt kapjuk:

\begin{matrix} \frac{a + b}{c} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} + \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} . \end{matrix}

Szorozzunk

2 a b c

-vel, és rendezzük:

\begin{matrix} 2 a b (a + b) = a b^{2} + a c^{2} - a^{3} + a^{2} b + b c^{2} - b^{3}, \\ a^{3} + b^{3} + a b (a + b) = a c^{2} + b c^{2}, \\ (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) + a b (a + b) = c^{2} (a + b) . \end{matrix}

Oszthatunk

(a + b)

-vel, és kapjuk, hogy

a^{2} + b^{2} = c^{2}

.
A Pitagorasz-tétel megfordítása alapján a háromszög derékszögű:

γ = 90^{\circ}

II. megoldás. Írjunk

γ

helyére

(180^{\circ} - α - β)

-t:

\begin{matrix} sin α + sin β & = (cos α + cos β) \cdot sin (180^{\circ} - α - β) = (cos α + cos β) \cdot sin (α + β) = \\ = (cos α + cos β) (sin α cos β + cos α sin β) = \\ = cos α cos β sin α + cos α cos β sin β + cos^{2} α sin β + cos^{2} β sin α . \end{matrix}

Ezt rendezhetjük a következő alakra is:

\begin{matrix} (sin α + sin β) (1 - cos α cos β) & = cos^{2} α sin β + cos^{2} β sin α, \\ (sin α + sin β) (1 - cos α cos β) & = sin β - sin^{2} α sin β + sin α - sin^{2} β sin α, \\ (sin α + sin β) (1 - cos α cos β) & = (sin α + sin β) (1 - sin α sin β), \end{matrix}

azaz:

\begin{matrix} (sin α + sin β) (sin α sin β - cos α cos β) = 0. \end{matrix}

1. eset:

sin α + sin β = 0

. Ez nem lehet, mert

α

és

β

háromszög szögei.
2. eset:

sin α sin β = cos α cos β

.
Ha

cos α

vagy

cos β

egyenlő lenne 0-val, akkor

sin α

és

sin β

közül legalább az egyiknek is 0-val kellene egyenlőnek lenni, de ez nem lehet.
Ha

cos α cos β \neq 0

, akkor így írható az egyenlet:

tg α tg β = 1

.
Számoljuk ki

tg γ

-t:

\begin{matrix} tg γ = tg (180^{\circ} - α - β) = - tg (α + β) = - \frac{tg α + tg β}{1 - tg α tg β} . \end{matrix}

Mivel

tg α tg β = 1

tg γ

nincs értelmezve. Ez most azt jelenti, hogy

γ = 90^{\circ}

, vagyis a háromszög derékszögű.