Kezdőlap


Feladat:	C.784	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Peregi Tamás
Füzet:	2005/április, 209 - 210. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Téglatest, Csonkagúlák, Térfogat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/november: C.784

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $E F G H$ téglalap $E F$ , $F G$ , $G H$ és $H E$ élének felezőpontjai legyenek rendre $K$ , $L$ , $M$ és $N$ . Az $A C K L M N = Θ$ test térfogata helyett számítsuk ki azon részek térfogatának összegét, amelyet úgy kapunk, hogy a téglatestből eltávolítjuk a $Θ$ testet.

A maradék rész két egybevágó gúlából és két egybevágó csonkagúlából áll.
A gúlák egyike az

A E K N

, ennek alapja derékszögű háromszög, magassága egyenlő a téglatest

A E

élével. A másik gúla a vele egybevágó

C G L M

. A gúlák egybevágósága a szimmetriából következik. A téglalap oldalainak felezőpontjait összekötve egy rombuszt kapunk.

E K N ▵ ≅ G L M ▵

. Az

E K N

háromszög területe nyolcadrésze a téglalap területének, vagyis

\frac{3}{4}

területegység.

A csonkagúlák egyike az

A D C N H M

test, alaplapjai derékszögű háromszögek, melyek síkjai párhuzamosak, mivel a téglatest szemközti síkjaiban vannak.
Ha ezen gúlák (csonkagúlák) térfogatának összegét kivonjuk a téglatest

2 \times 3 \times 1 = 6

térfogatából, éppen a kívánt test térfogatát kapjuk. A gúlák térfogatának összege:

\begin{matrix} 2 \cdot \frac{\frac{3}{4} \cdot 1}{3} = \frac{1}{2}, \end{matrix}

a csonkagúlák térfogatának összege az ismert térfogatképletet felhasználva:

\begin{matrix} 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\frac{3}{4} + 3 + \sqrt[]{\frac{9}{4}}) = 2 \cdot \frac{7}{4} . \end{matrix}

A keresett test térfogata:

V_{Θ} = 6 - \frac{1}{2} - \frac{7}{2} = 2

térfogategység.