Kezdőlap


Feladat:	C.781	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fehér Dániel
Füzet:	2005/április, 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Nevezetes azonosságok, Prímszámok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/november: C.781

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az egyenlőség bal oldalát alakítsuk szorzattá, a jobb oldalon álló számot pedig bontsuk törzstényezőire:

\begin{matrix} (p + q + r) (p - q - r) = 17 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2. \end{matrix}

A bal oldali tényezők a jobb oldali számok szorzatából épülnek fel. Ezek lehetnek:

17 \cdot 8

34 \cdot 4

vagy

68 \cdot 2

, esetleg

136 \cdot 1

. A feltételből

p + q + r > p - q - r > 0

és

(p + q + r) + (p - q - r) = 2 p

páros, ezért csak a második és a harmadik eset jöhet szóba.
Ha

\begin{matrix} \begin{matrix} p + q + r = & 34 & és \\ p - q - r = & 4 \end{matrix}} \Rightarrow 2 p = 38 és p = 19, \end{matrix}

továbbá

q + r = 15

, ez lehetséges, mégpedig pontosan akkor, ha

q = 13

és

r = 2

. Ez tehát megoldása az egyenletnek.
Végül, ha

\begin{matrix} \begin{matrix} p + q + r = & 68 & és \\ p - q - r = & 2 \end{matrix}} \Rightarrow 2 p = 70 és p = 35, \end{matrix}

de ez nem prímszám.
A feladat megoldása a 19, 13, 2 számhármas.