Kezdőlap


Feladat:	C.783	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hauck Zsuzsanna
Füzet:	2005/április, 208 - 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Kör geometriája, Középponti és kerületi szögek, Terület, felszín, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/november: C.783

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $O A B$ egyenlő szárú háromszögben $O A B ∢ = 150^{\circ}$ és $B O A ∢ = A B O ∢ = 15^{\circ}$ , jelöljük a kör sugarát $r$ -rel.

O A B

háromszögben írjuk fel az

O B

oldalra a koszinusz tételt:

\begin{matrix} r^{2} = 1^{2} + 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot cos 150^{\circ} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} cos 150^{\circ} = - cos 30^{\circ} = - \frac{\sqrt[]{3}}{2} \end{matrix}

helyettesítés után kapjuk, hogy

r^{2} = 2 + \sqrt[]{3}

. A keresett

T

területet úgy kapjuk meg, ha a

B O C

körcikk területéből kivonjuk az

O A B

háromszög területét:

\begin{matrix} t_{körcikk} & = \frac{r^{2} π \cdot α}{360^{\circ}} = \frac{(2 + \sqrt[]{3}) π \cdot 15^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{(2 + \sqrt[]{3}) π}{24}, \\ t_{▵} & = \frac{1 \cdot 1 \cdot sin 150^{\circ}}{2} = \frac{1}{4}, \\ T & = \frac{(2 + \sqrt[]{3}) π - 6}{24} \approx 0, 2385 területegység. \end{matrix}