Feladat:	B.3753	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth Zoltán
Füzet:	2005/május, 279 - 280. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/október: B.3753

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Ha $k>n$, akkor $\frac{S_n-S_k}{n-k}=\frac{S_k-S_n}{k-n}$, tehát megkötés nélkül feltételezhetjük, hogy $n>k$. Legyen $k=1$. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{S_{n+1}}{n+1}=\frac{S_n-S_1}{n-1}\mathrm{.}}\end{array}$ Bebizonyítjuk, hogy már abból is következik, hogy az $\left(a_n\right)$ számtani sorozat, ha ez az egyenlőség minden $n$-re fennáll. Helyettesítsük be $S_i=a_1+a_2+\text{...}+a_i$-t: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \left(n-1\right)\left(a_1+a_2+\text{...}+a_n+a_{n+1}\right)}& {\displaystyle =\left(n+1\right)\left(a_2+\text{...}+a_n\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(n-1\right)\left(a_1+a_{n+1}\right)}& {\displaystyle =2\left(a_2+\text{...}+a_n\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ha $n=2$, akkor $a_1+a_3=2a_2$, azaz az első 3 tag számtani sorozatot alkot. Tegyük fel, hogy az első $k$ tag számtani sorozatot alkot, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle a_i=a_1+\left(i-1\right)d\mathrm{,}\text{ha}1\le i\le k\mathrm{.}}\end{array}$ Bizonyítjuk, hogy ekkor $a_{k+1}=a_1+kd$: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(k-1\right)\left(a_1+a_{k+1}\right)=2\left(a_2+\text{...}+a_k\right)\mathrm{,}}\end{array}$ használhatjuk az összegképletet, mivel $a_2\mathrm{,}{a}_3\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_k$ számtani sorozat. $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(k-1\right)\left(a_1+a_{k+1}\right)=2\left(\frac{a_1+d+a_1+\left(k-1\right)d}{2}\right)\left(k-1\right)\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle a_{k+1}=a_1+kd\mathrm{.}}\end{array}$ Ezzel bizonyítottuk az indukciós állítást: ha a feltétel teljesül $k=1$-re, akkor a tagok számtani sorozatot alkotnak. Most belátjuk, hogy ha $\left(a_n\right)$ számtani sorozat, akkor mindig teljesül, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a_1+a_2+\text{...}+a_{n+k}}{n+k}=\frac{a_{k+1}+a_{k+2}+\text{...}+a_n}{n-k}\mathrm{.}}\end{array}$ Felírva az összegképletet: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{a_1+a_1+\left(n+k-1\right)d}{2\left(n+k\right)}\left(n+k\right)}& {\displaystyle =\frac{a_1+kd+a_1+\left(n-1\right)d}{2\left(n-k\right)}\left(n-k\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{2a_1+nd+kd-d}{2}}& {\displaystyle =\frac{2a_1+kd+nd-d}{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ezzel bizonyítottuk a feladat állítását.