Feladat: C.776 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Martinek László 
Füzet: 2005/március, 147. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Egybevágósági transzformációk, Síkgeometriai szerkesztések, Lefedések, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/október: C.776

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Azt állítjuk, hogy ha egy derékszögű háromszögben a befogók aránya 1:2, akkor az felbontható öt egybevágó háromszögre.
Legyen az ABC derékszögű háromszögben AC=2BC. Húzzuk meg az átfogóhoz tartozó magasságot, talppontját jelölje D, az AC oldal felezőpontja legyen F. Állítsunk merőlegest F-ből az átfogóra, talppontja legyen E, az F-ből a CD szakaszra állított merőleges talppontja pedig legyen G. A D és F pontokat összekötve 5 darab derékszögű háromszöget kapunk: megmutatjuk, hogy ezek a háromszögek egybevágók.

 
 

A BCD∢=EAF∢ merőleges szárú szögek, és BC=AF miatt a BCD▵≅FAE▵. Az AEF és FGC háromszögek is egybevágók, FE∥CG miatt GCF∢=EFA∢ és CF=FA. Ebből az is következik, hogy GFC∢=EAF∢, azaz GF∥ED. Az EDGF idom téglalap, szemben fekvő oldalai párhuzamosak, szögei derékszögek. Az FDG háromszög egybevágó az FCG háromszöggel, egy oldaluk közös és EF=GD=GC (a már igazolt egybevágóság miatt). Végül DEF▵≅FGD▵, mivel a téglalapot az átlója két egybevágó háromszögre bontja.
 
Megjegyzés. Többen úgy oldották meg a feladatot, hogy kiindultak egy olyan derékszögű háromszögből, amelyben a befogók aránya 1:2 és ehhez ,,ragasztottak'' hozzá további négy egybevágó háromszöget, így kapva egy nagy derékszögű háromszöget eredményül.