A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. akkor nem értelmes, ha . akkor nem értelmes, ha egyrészt nem értelmes (azaz ), vagy pedig . Az adódó megoldása . Hasonlóan kapjuk, hogy nem értelmes, ha , vagy . Tovább haladva kapjuk, hogy ha az sorozatra | | azaz , akkor nem értelmes, ha . Megfordítva, ha nem értelmes, akkor vagy sem az, vagy pedig . Mivel az függvény kölcsönösen egyértelmű, az sorozat egyértelműen meghatározott. A sorozat meghatározásához tekintsük az függvény inverzét: . Így a fenti sorozat ,,megfordítva'': | | ahonnan az , rekurziót kapjuk. A sorozat első néhány tagja: Teljes indukcióval igazoljuk, hogy . Ha , akkor ez igaz. Legyen és tegyük fel, hogy . Ekkor valóban. A keresett halmaz tehát .
Megjegyzések. 1. Ha a kapott rekurzióban bevezetjük az helyettesítést, akkor | | tehát nyomban leolvasható, hogy és így . 2. Ha a fentiekhez hasonló kísérletezés után megsejtjük, hogy , akkor ez hasonlóan könnyen igazolható teljes indukcióval és innen nyomban adódik a feladat állítása. 3. Ha például akkor az sorozat nyomban ,,elakad'', az függvény ugyanis nem veszi föl az értelmezési tartományából hiányzó értéket, az függvények tehát csak az helyen nem értelmesek. (Írjuk fel most az függvényeket.) |