Kezdőlap


Feladat:	B.3750	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Halász Veronika
Füzet:	2005/március, 161. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rekurzív sorozatok, Algebrai egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/szeptember: B.3750

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Első lépésként alakítsuk át a rekurziós képletet:

\begin{matrix} a_{k} = 4 a_{k - 1} - 3 a_{k - 2} = a_{k - 1} + 3 (a_{k - 1} - a_{k - 2}) . \end{matrix}

Azaz

a_{k} - a_{k - 1} = 3 (a_{k - 1} - a_{k - 2})

. Erre alapozva vezessük be a

b_{k} = a_{k + 1} - a_{k}

sorozatot. Erről a sorozatról tudjuk, hogy
1.)

b_{1} = a_{2} - a_{1} \geq 1 > 0

, mert

a_{2} > a_{1}

, és mindkettő egész.
2.)

b_{k + 1} = 3 b_{k}

, ebből

b_{k} = 3^{k - 1} b_{1} \geq 3^{k - 1} > 0

.
Ebből látható, hogy az

a_{k}

sorozat monoton növő, és így persze minden eleme pozitív. Így

a_{44} > 0

. Másrészt

b_{44} = 3^{43} b_{1} \geq 3^{43}

, ezért

a_{45} = a_{44} + b_{44} > 3^{43}

Megjegyzések. 1. Az ismertetett megoldás a feladat egyik tipikus, talán legelegánsabb megoldása volt. Itt legfeljebb az jelenthetett apró hiányt, ha valaki nem említette meg azt a (bizonyításból egyébként is nyilvánvaló) tényt, hogy a sorozat elemei pozitív számok, és ezért becsülhetjük alulról az

a_{45}

elemet az

a_{45} - a_{44}

különbséggel.
2. A másik tipikus megoldás az volt, ha valaki

a_{1}

és

a_{2}

, az első két elem segítségével a másodrendű lineáris rekurziók ismert elmélete szerint levezette az általános tag képletét, amelyre valami ilyesmit kaphatott:

\begin{matrix} a_{2} + \frac{3^{n - 1} - 3}{2} (a_{2} - a_{1}), vagy a_{1} + \frac{3^{n - 1} - 1}{2} (a_{2} - a_{1}) . \end{matrix}

Innen pedig már adódik az állítás. A képleteket az 1. megoldás alapján is gyorsan meg lehet kapni, tehát nincs szükség különösebb tudástöbbletre. Sokan azért vesztettek pontokat, mert a bizonyítás elején pontos indoklás nélkül közölték, hogy az a ,,legrosszabb'' eset (tehát a sorozat akkor a legkisebb), ha

a_{1} = 1

a_{2} = 2

, és csak erre a speciális esetre számolták ki a képletet. A végső formulából látható, hogy ez a feltételezés valóban megalapozott (hiszen pl. a második alakból látható, hogy

a_{n}

akkor minimális, ha

a_{1}

és

(a_{2} - a_{1})

minimálisak és mindkét érték legalább 1, amikor tehát valóban

a_{1} = 1

és

a_{2} = 2

), de az ilyen ,,természetesen hangzó'' feltételezéseket mindig indokolni kell.
3. Szintén többször előforduló ennél sokkal súlyosabb hibát követtek el azok, akik teljes indukciós bizonyításukban az állítást lényegében két egyenlőtlenség különbségeként vélték igazolni. Egyenlőtlenségeket nem lehet kivonni.