Kezdőlap


Feladat:	C.773	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Dobos Gergely , Ruppert Dániel
Füzet:	2005/május, 269 - 270. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Trapézok, Heron-képlet, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/szeptember: C.773

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az $A B C D$ trapéz ( $A B = 2100$ , $C D = 1500$ , $D A = 37$ , $B C = 613$ ) $C$ és $D$ csúcsából állítsunk merőlegest az $A B$ alapra, ezek az alapot rendre az $E$ és $F$ pontokban metszik. Tudjuk, hogy a trapéz területe:

\begin{matrix} T = \frac{A B + C D}{2} \cdot m . \end{matrix}

E C = F D = m

magasságot az

A F D

és

B C E

derékszögű háromszögekből a Pitagorasz-tétel felhasználásával számítjuk ki.

1. ábra

Legyen

A F = x

, ekkor

E B = (2100 - 1500) - x = 600 - x

, azaz

\begin{matrix} (1) 37^{2} = m^{2} + x^{2}; (2) 613^{2} = {(600 - x)}^{2} + m^{2} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} 37^{2} - x^{2} = 613^{2} - 600^{2} + 1200 x - x^{2} . \end{matrix}

Elvégezve a kijelölt műveleteket, rendezés után kapjuk, hogy

x = - 12

és

m = 35

. Mivel

x < 0

, azért az

A

csúcs az

E F

belső pontja (az 1. ábrán

A'

-vel jelölve).
A trapéz területe:

\begin{matrix} T = \frac{2100 + 1500}{2} \cdot 35 = 63 000 m^{2}, \end{matrix}

ami közelítőleg

\frac{63 000}{3, 596} \approx 17 519

négyszögöl. (1 bécsi négyszögöl

\approx 3, 596 m^{2}

II. megoldás. Használjuk a 2. ábra jelöléseit. Számítsuk ki először a Héron-képlet segítségével az

A' B C

háromszög területét (

s = \frac{K}{2} = 625

m):

\begin{matrix} T_{A' B C} & = \sqrt[]{s (s - a) (s - b) (s - c)} = \\ = \sqrt[]{625 \cdot 12 \cdot 588 \cdot 25} = 10 500 m^{2}. \end{matrix}

A háromszög területképletéből:

\begin{matrix} T_{A' B C} = \frac{600 \cdot m}{2} = 10 500 \Rightarrow m = 35 m. \end{matrix}

2. ábra

m

ismeretében már az I. megoldás szerint számíthatjuk ki a trapéz területét:

T_{A B C D} \approx 17 519

négyszögöl.