Feladat: C.770 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2005/március, 146 - 147. oldal  PDF file
Témakör(ök): Logikai feladatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/szeptember: C.770

Egy 35 fős osztály tanulói két csoportba oszthatók: a kockafejűekre és az égimeszelőkre. Az égimeszelők állítják, hogy magasabbak a kockafejűeknél, akik viszont jobb matekosnak tartják magukat. Egyikük egyszer azt kérdezte egy égimeszelőtől: ,,Mit értetek azon, hogy ti magasabbak vagytok nálunk? Talán azt, hogy
1. Minden égimeszelő magasabb valamennyi kockafejűnél?
2. A legmagasabb égimeszelő magasabb a legmagasabb kockafejűnél?
3. Minden égimeszelő magasabb valamelyik kockafejűnél?
4. Minden kockafejű alacsonyabb valamelyik égimeszelőnél?
5. A legalacsonyabb kockafejű alacsonyabb a legalacsonyabb égimeszelőnél?''
A kérdések hallatán az égimeszelő szemmel láthatóan összezsugorodott ... A feladat viszont az, hogy megállapítsuk, milyen viszonyban állnak a fenti kijelentések, azaz bármely két állítás esetén döntsük el, következik-e egyikükből a másik.

Megoldás. Az esetek számát úgy próbáljuk csökkenteni, hogy ekvivalens állításokat keresünk (ha vannak ilyenek). Célszerű először is megszabadulni azoktól az állításoktól, amelyekben a bizonytalanság érzetét keltő ,,valamelyik'' szó szerepel.
A (3) állítás szerint minden égimeszelő magasabb valamelyik kockafejűnél. Ekkor viszont a legalacsonyabb égimeszelő (vagy az égimeszelők bármelyike) is magasabb valamelyik kockafejűnél, következésképpen a legalacsonyabb kockafejűnél is (vagy azok bármelyikénél). Ez azt jelenti, hogy a legalacsonyabb kockafejű alacsonyabb a legalacsonyabb égimeszelőnél. Ez pedig éppen az (5) állítás.
Ha viszont az (5) állítás igaz, azaz a legalacsonyabb kockafejű alacsonyabb a legalacsonyabb égimeszelőnél, akkor minden égimeszelő magasabb valamelyik kockafejűnél, nevezetesen a legkisebbnél. Eszerint (3) ugyanazt jelenti, mint (5).
Hasonlóképpen járhatunk el a (4) állítás esetében is. A (4) szerint minden kockafejű alacsonyabb valamelyik égimeszelőnél, azaz biztosan alacsonyabb a legmagasabb égimeszelőnél, ami pontosan a (2) állítás egy átfogalmazása. Ha viszont (2) igaz, akkor minden kockafejű alacsonyabb valamelyik égimeszelőnél; nevezetesen a legmagasabbnál.
Vagyis a (2) és a (4) állítások is ekvivalensek. Ezek után már csak az (1), (2) és (5) közötti kapcsolatokat kell megállapítanunk.
Ha (1) igaz, akkor minden égimeszelő magasabb minden kockafejűnél; így a legmagasabbnál is. Továbbá minden kockafejű alacsonyabb minden égimeszelőnél, így a legalacsonyabbnál is. Eszerint (1)-ből (2) is és (5) is következik.
Ezek után vizsgáljuk meg a többi állítást is. Legyen az égimeszelők magassága pl. 152 és 154 (cm) között, a kockafejűeké 151 és 153 között1, ekkor (2) és (5) igaz, de (1) nem. Vagyis a (2) és (5) állítások igazságából nem következik, hogy (1) is igaz. (Persze ez áll (3) és (4)-re is.)
Legyen most az égimeszelők magassága pl. 151 és 154 között, a kockafejűeké pedig 152 és 153 között. Ekkor (2) igaz, de (5) nem. Vagyis (2)-ből és a vele ekvivalens (4)-ből nem következik (5) (és (3) sem).
Végül, ha az égimeszelők magassága pl. 152 és 153, a kockafejűeké pedig 151 és 154 között van, akkor (5) igaz, de (2) nem. Vagyis (5)-ből és (3)-ból nem következik a (2) állítás (és (4) sem).
Összefoglalva: (1) igaz voltából következik az összes többi állítás igaza. (2)-ből csak a (4), (3)-ból csak az (5), (4)-ből csak a (2), végül (5)-ből csak a (3) következik.
1A ,,között'' itt és a továbbiakban azt jelenti, hogy a határokat is beleértjük.