Kezdőlap


Feladat:	B.3674	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gidófalvy Kitti
Füzet:	2004/szeptember, 338. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Oszthatóság, Prímszámok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/november: B.3674

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Keressük azt a $k$ pozitív egész számot, amelyre

\begin{matrix} 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot p_{k} = a^{3} + b^{3}, \end{matrix}

ahol

p_{k}

k

-adik prímet jelenti a prímszámok növekvő sorozatában,

a

és

b

pedig pozitív egészek. Ha

k \geq 2

, akkor a prímek között szerepel a 3 is, de az egész szorzat csak 3-mal osztható, 9-cel nem. Ugyanakkor

a^{3} + b^{3} = {(a + b)}^{3} - 3 a b \cdot (a + b)

, a jobb oldal csak úgy osztható 3-mal, ha

{(a + b)}^{3}

is osztható 3-mal, ami viszont csak akkor teljesül, ha

a + b

is osztható 3-mal. Ez az összeg megjelenik szorzótényezőként a második tagban is, így a jobb oldal 9-cel is osztható, míg a bal oldal nem; tehát

k \geq 2

esetén nincs megoldás.
Ha pedig

k = 1

, akkor

2 = 1^{3} + 1^{3}

; erre tehát találunk megoldást. Más lehetőség nincs, tehát csak

k = 1

megoldása a feladatnak.