Kezdőlap


Feladat:	B.3735	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Filus Tamás
Füzet:	2005/március, 158 - 159. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rekurzív sorozatok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/május: B.3735

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Használjuk fel, hogy $x_{1} + x_{2} = 2004$ , így a rekurzió az alábbi formában írható:

\begin{matrix} x_{n + 2} = \frac{x_{n + 1} - x_{1} - x_{2}}{x_{n}} . \end{matrix}

Írjuk fel a sorozat első néhány tagját:

\begin{matrix} 1001; 1003; x_{3} = \frac{x_{2} - x_{1} - x_{2}}{x_{1}} = - 1; x_{4} = \frac{x_{3} - x_{1} - x_{2}}{x_{2}} = \frac{- 1 - x_{1} - x_{2}}{x_{2}}; \\ x_{5} = \frac{x_{4} - x_{1} - x_{2}}{x_{3}} = - x_{4} + x_{1} + x_{2}; \\ x_{6} = \frac{x_{5} - x_{1} - x_{2}}{x_{4}} = \frac{- x_{4} + x_{1} + x_{2} - x_{1} - x_{2}}{x_{4}} = - 1; ... \end{matrix}

Vegyük észre, hogy

x_{4} + x_{5} = x_{1} + x_{2} = 2004

és

x_{6} = x_{3} = - 1

.
Teljes indukcióval bebizonyítjuk, hogy tetszőleges

n \in N

esetén

x_{3 n + 1} + x_{3 n + 2} = 2004

és

x_{3 n + 3} = - 1

. Láttuk, hogy ezek

n = 1

-re és 2-re fennállnak.
Tegyük fel, hogy

(k - 1)

-ig igaz az állítás:

x_{3 k - 2} + x_{3 k - 1} = 2004

és

x_{3 k} = - 1

. Belátjuk

k

-ra.
A rekurzió és az indukciós feltevés alapján

\begin{matrix} x_{3 k + 1} & = \frac{x_{3 k} - x_{3 k - 1} - x_{3 k - 2}}{x_{3 k - 1}} = \frac{- 1 - x_{3 k - 1} - x_{3 k - 2}}{x_{3 k - 1}}; \\ x_{3 k + 2} & = \frac{x_{3 k + 1} - x_{3 k - 1} - x_{3 k - 2}}{x_{3 k}} = - x_{3 k + 1} + x_{3 k - 1} + x_{3 k - 2} . \end{matrix}

Ebből pedig

x_{3 k + 1} + x_{3 k + 2} = x_{3 k + 1} - x_{3 k + 1} + x_{3 k - 1} + x_{3 k - 2} = 2004

az indukciós feltevés miatt. Továbbá (ezt felhasználva)

\begin{matrix} x_{3 k + 3} = \frac{x_{3 k + 2} - x_{3 k + 2} - x_{3 k + 1}}{x_{3 k + 1}} = - 1. \end{matrix}

Ebből következik, hogy a sorozat első 2004 tagját hármasával csoportosítva a számok összege minden egyes csoportban 2003.
Mivel

2004 = 3 \cdot 668

, az első 2004 tag 668 ilyen elemhármasból áll, így a keresett összeg

2003 \cdot 668 = 1 338 004