Kezdőlap


Feladat:	C.769	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2005/február, 83 - 84. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Egyenes körhengerek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/május: C.769

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A henger körmetszetének középpontját jelölje $O$ , a henger az $e$ egyenest az $E_{1}$ pontban, az $A B$ pálcát az $E_{2}$ pontban érinti, $O A E_{1} ∢ = O A E_{2} ∢ = α$ . Az $O A E_{1}$ derékszögű háromszögben:

\begin{matrix} tg α = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

Jelölje

B

merőleges vetületét az

A E_{1}

egyenesre

C

. Az

A B C

háromszögből a keresett

B C

oldal:

\begin{matrix} B C = 50 \cdot sin 2 α . \end{matrix}

(1)

Először az ismert összefüggés alapján határozzuk meg

tg 2 α

-t, majd

sin 2 α

értékét.

\begin{matrix} \begin{matrix} tg 2 α & = \frac{2 tg α}{1 - {tg}^{2} α} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3} \\ tg 2 α & = \frac{sin 2 α}{cos 2 α} = \frac{sin 2 α}{\sqrt[]{1 - sin^{2} 2 α}} \end{matrix}} \Rightarrow \frac{sin 2 α}{\sqrt[]{1 - sin^{2} 2 α}} = \frac{4}{3} . \end{matrix}

Emeljünk négyzetre és rendezzük az egyenletet:

9 sin^{2} 2 α = 16 - 16 sin^{2} 2 α

. Innen

sin 2 α = \frac{4}{5}

(csak a pozitív gyököt kell figyelembe venni). Helyettesítsük

sin 2 α

értékét (1)-be:

B C = 50 \cdot \frac{4}{5} = 40

. A pálca másik végpontja tehát 40 cm magasan van.