Kezdőlap


Feladat:	C.768	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Martinek László
Füzet:	2005/január, 28. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körérintők, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/május: C.768

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük az egységsugarú körök középpontját $O_{1}$ , $O_{2}$ -vel, az $E$ , $F$ és $A$ ponton átmenő kör középpontját $O_{3}$ -mal, sugarát $r$ -rel, és legyen $A$ az egységsugarú köröknek az $E F$ érintőhöz közelebb eső metszéspontja. Tudjuk, hogy $E O_{1} ⊥ E F$ és ugyancsak $O_{3} A ⊥ E F$ , vagyis $E O_{1} ∥ O_{3} A$ .

A O_{1} E O_{3}

négyszögnek van egy párhuzamos oldalpárja, azaz trapéz. Az

O_{1} E = O_{1} A = 1

, és az

O_{3} E = O_{3} A = r

egyenlőségek miatt a trapéz két-két szomszédos oldalának hossza egyenlő, a trapéz tehát deltoid, s mivel két szemben lévő oldala párhuzamos, azért az

A O_{1} E O_{3}

négyszög egyben rombusz is. Tehát az

E

F

A

pontokon átmenő kör sugara

O_{3} E = 1

egység.
A feladatnak még egy megoldása van, ha az egységsugarú körök távolabbi metszéspontján és az

E

F

érintési pontokon átmenő kör sugarát keressük. Az előzőekhez hasonló módon beláthatjuk, hogy ennek a körnek is 1 egység a sugara.