A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. megoldás. Megmutatjuk, hogy ilyen téglalap nem létezik. Tételezzük fel, hogy létezik olyan rácstéglalap, amely kicsempézhető, és vegyük ennek egy tetszőleges csempézését. Minden egyes csempében kössük össze a két hosszúságú oldal felezőpontját egy görbével az 1. ábra szerint; a görbe legyen merőleges a végpontjaiban a két oldalra. Mivel a hosszúságú oldalakhoz egy-egy újabb csempe illeszkedik, a görbedarabok egymáshoz csatlakoznak és zárt hurkokat alkotnak.
1. ábra Vegyük az egyik zárt hurkot. Rajzoljunk a hurkot alkotó görbedarabokra egy-egy nyilat a pozitív körüljárás irányában (2. ábra). A csempéket két csoportra oszthatjuk: az egyik fajta csempében a görbe ,,befelé kanyarodik''; az iránya pozitív irányban változik -ot, a csempék másik csoportjában a görbe ,,kifelé kanyarodik'', az irány negatív irányban változik -ot.
2. ábra Legyen a kifelé kanyarodó görbedarabok száma . Mivel a görbe iránya összesen -ot változik pozitív irányban, a befelé kanyarodó szakaszok száma . Cseréljük most ki a görbedarabokat egyenes szakaszokra, és vizsgáljuk meg, hogy az így kapott töröttvonal belsejének mekkora lehet a területe, és ebből mennyit fedhetnek le a csempék (3. ábra). A töröttvonal belseje felbontható oldalú, átlós helyzetű négyzetekre. Mindegyik ilyen négyzet területe , a töröttvonal által bekerített terület tehát páros egész szám.
3. ábra A befelé kanyarodó csempék területéből egység esik a töröttvonal belső oldalára, a kifelé kanyarodó csempék területéből pedig egység. Lehetnek olyan csempék is, amelyek teljes egészükben a töröttvonal belsejébe esnek; legyen az ilyen csempék száma . Ezek mindegyike ‐ egységnyi területet fed le. Az összes lefedett terület tehát | | ami páratlan. A töröttvonal által határolt páros mérőszámú területből tehát a csempék egy páratlan méretű részt fednek le, tehát nem fedhetik le teljesen.
II. megoldás. A megoldáshoz szükségünk lesz a következő segédtételre:
Ha az egyszerű, zárt töröttvonal csak vízszintes és függőleges rácsszakaszokból áll, és a belsejében nincs rácspont, akkor a által határolt négyzetek között mindig van olyan, amelynek legalább három oldala -hez tartozik. Bizonyítás. Tekintsük azt a gráfot, amelynek csúcsai a által határolt négyzetek, és kössük össze éllel a szomszédos négyzetekhez tartozó csúcsokat (4. ábra). Ez a gráf összefüggő, és nem tartalmazhat kört, mert ha néhány négyzet egy kört alkotna, akkor ennek belsejében lenne olyan rácspont, amelyen nem megy át. A gráf tehát egy fa. Egy fában mindig van elsőfokú pont. Ha pedig a gráfunk valamelyik pontja legfeljebb elsőfokú, az azt jelenti, hogy a megfelelő négyzetnek legfeljebb csak egy oldalához csatlakozik további négyzet, legalább három oldala pedig -nek is oldala. Ezzel a segédtételt igazoltuk.
4. ábra Most tételezzük fel, hogy sikerült a megadott mintával egy téglalapot kicsempézni. Kössük össze ismét mindegyik csempében a hosszú oldalak felezőpontjait egy-egy szakasszal. Ezek a szakaszok zárt töröttvonalakat alkotnak, amelyeknek nincs közös pontjuk; két töröttvonal vagy egymáson kívül helyezkedik el, vagy egyikük a belsejében tartalmazza a másikat. A legkisebb területű töröttvonal nem tartalmazhat a belsejében további töröttvonalat. A belsejét azok a csempék fedik le, amelyek a töröttvonalat alkotják. A továbbiakban megmutatjuk, hogy ez nem lehetséges. Tegyük fel tehát, hogy létezik a csempéknek egy olyan elrendezése, amelyben a csempékre rajzolt szakaszok egyetlen zárt töröttvonalat alkotnak, és ennek a vonalnak a belsejét a felhasznált csempék teljesen lefedik. Tekintsünk az ilyen elrendezések közül egy olyat, amelyikben a felhasznált csempék száma minimális. A töröttvonalat alkotó, hosszúságú szakaszok egy átlós helyzetű négyzetrács élei mentén haladnak úgy, hogy a töröttvonal belsejében nem maradhat ki rácspont. (Minden bekerített rácspont lefedetlen területet jelentene.) A segédtétel szerint van közöttük három, egymáshoz merőlegesen csatlakozó úgy, hogy az általuk közrefogott négyzet a töröttvonal belsejébe esik. Válasszunk ki három ilyen szakaszt, az ezeket tartalmazó és a szomszédos rácsnégyzeteket pedig betűzzük meg az 5. ábra szerint.
5. ábra A , , , mezőket a csempék határai átlósan kettéosztják úgy, hogy a csúcsban szomszédos mezők ellentétes irányban vannak felosztva. A szimmetria miatt feltételezhetjük, hogy ez a 6. ábrán látható irányokban történik.
6. ábra Vizsgáljuk most meg, hogy a , és szakaszok milyen csempékhez tartozhatnak. A csempe mindenképpen tartalmazza a mező bal-felső felét. Ezért a csempe a mezőnek csak a jobb-alsó felét tartalmazhatja, ez a csempe tehát a mező jobb-alsó feléből, a mezőből és az mező bal-alsó feléből áll. Hasonlóan, a csempe tartalmazza a mező jobb-felső felét, ezért a csempe a mező bal-alsó feléből, az mezőből és a mező bal-felső feléből áll. Az mezőt lefedő csempe ezek után csak a mező jobb-felső és a mező jobb-alsó felét tartalmazhatja (7. ábra).
7. ábra Módosítsuk a csempézéseket a következőképpen. Hagyjuk el a , és csempéket, és illesszünk be helyettük egy újat a 8. ábra szerint az , , mezőkre. Ezáltal a csempék száma csökken, és a módosított hurok belsejét továbbra is lefedik a csempék. Találtunk tehát egy még kisebb csemperendszert, amely egyetlen hurokból áll, és amelynek belsejét a csempék lefedik. Ez pedig ellentmond annak, hogy a minimális hurokból indultunk ki. A megadott mintával tehát valóban nem lehet rácstéglalapot kicsempézni.
8. ábra |