Feladat:	B.3724	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Poronyi Balázs
Füzet:	2005/május, 274 - 275. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/április: B.3724

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyen $p\left(x\right)$  $n$-edfokú polinom, amelyre teljesül a feladat feltétele. Ha $n=0$, akkor $p\left(x\right)\equiv c$ és $p\left(x+1\right)\equiv c$. A feltétel szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle c\cdot c=c\mathrm{,}\text{ahonnan}c=0\text{vagy}c=1.}\end{array}$ Tehát $p\left(x\right)\equiv 0$, vagy $p\left(x\right)\equiv 1$. Ha $n=1$, akkor $p\left(x\right)=ax+b$, ekkor $p\left(x+1\right)=ax+a+b$, ahol $a\ne 0$. Behelyettesítve ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \left(ax+b\right)\left(ax+a+b\right)}& {\displaystyle =a\left(x+ax+b\right)+b\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a^2{x}^2+abx+a^{2}x+ab+abx+b^2}& {\displaystyle =ax+a^{2}x+ab+b\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a^2{x}^2+\left(a^2+2ab\right)x+b^2}& {\displaystyle =\left(a^2+a\right)x+b\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A két polinom csak $a=0$ esetén egyezhetne meg, de $a\ne 0$. Tehát $p\left(x\right)$ nem lehet elsőfokú. Ha $n>1$, akkor $p\left(x\right)$  $n$-edfokú, $p\left(x+1\right)$  $n$-edfokú, $p\left(x\right)\cdot p\left(x+1\right)$  $2n$-edfokú. $x+p\left(x\right)$  $n$-edfokú, $p\left(x+p\left(x\right)\right)$  $n^2$-edfokú. Mivel a két polinom egyenlő, azért $n^2=2n$, tehát ha $n>1$, akkor $n=2$, a polinom másodfokú. Legyen $p\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$, ahol $a\ne 0$. Nézzük, mit jelent a feltétel: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle p\left(x+p\left(x\right)\right)}& {\displaystyle =a{\left(x+p\left(x\right)\right)}^2+b\left(x+p\left(x\right)\right)+c=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =a{x}^2+2axp\left(x\right)+a{p}^2\left(x\right)+bx+bp\left(x\right)+c\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ha ez azonos a $p\left(x\right)\cdot p\left(x+1\right)$ polinommal, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle p\left(x\right)\cdot \left[a{\left(x+1\right)}^2+b\left(x+1\right)+c-2ax-ap\left(x\right)-b\right]\equiv a{x}^2+bx+c\equiv p\left(x\right)\mathrm{,}}\end{array}$ azaz $p\left(x\right)\cdot \left[a{x}^2+2ax+a+bx+b+c-2ax-ap\left(x\right)-b-1\right]$ az azonosan nulla polinom. Mivel $p\left(x\right)$ másodfokú, azért a második tényező azonosan nulla: $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{p\left(x\right)}{\overset{}{\underbrace{a{x}^2+bx+c}}}+a-ap\left(x\right)-1=0.}\end{array}$ Szorzattá alakítva $\left(1-a\right)\left(p\left(x\right)-1\right)$ azonosan nulla. Mivel $p\left(x\right)$ másodfokú, ez csak úgy lehetséges, ha $a=1$. Ekkor $p\left(x\right)=x^2+bx+c$, ahol $b$ és $c$ tetszőleges valós számok. Mivel lépéseink megfordíthatók, azért ebben az esetben teljesül az egyenlőség. Tehát a feladat feltételeinek megfelelő polinomok: $p\left(x\right)=0$, $p\left(x\right)=1$ és $p\left(x\right)=x^2+bx+c$.