Kezdőlap


Feladat:	B.3723	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Stippinger Marcell
Füzet:	2005/április, 217. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszögek által határolt testek, Euler-féle poliédertétel alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/április: B.3723

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a konvex testet határoló ötszöglapok számát $ℓ_{5}$ -tel és a hatszöglapok számát $ℓ_{6}$ -tal. A testnek $ℓ = ℓ_{5} + ℓ_{6}$ lapja van.
Mivel minden ötszöget öt él és minden hatszöget hat él határol, a test éleinek a száma $e = \frac{5 ℓ_{5} + 6 ℓ_{6}}{2}$ , hiszen a konvexitás miatt minden él mentén pontosan két lap találkozik, így minden élet kétszer számoltunk $(5 ℓ_{5} + 6 ℓ_{6})$ -ban.
Mivel minden ötszögnek öt csúcsa és minden hatszögnek hat csúcsa van, azért a test csúcsainak a száma $c = \frac{5 ℓ_{5} + 6 ℓ_{6}}{3}$ , mivel a feladat feltétele szerint minden csúcsban pontosan három lap találkozik; így minden csúcsot háromszor számoltunk $(5 ℓ_{5} + 6 ℓ_{6})$ -ban.
Euler tétele érvényes minden konvex poliéderre:

\begin{matrix} ℓ + c = e + 2. \end{matrix}

Ide behelyettesítve a fentieket:

\begin{matrix} ℓ_{5} + ℓ_{6} + \frac{5 ℓ_{5} + 6 ℓ_{6}}{3} = \frac{5 ℓ_{5} + 6 ℓ_{6}}{2} + 2. \end{matrix}

Innen kapjuk, hogy

ℓ_{5} = 12

, tehát a poliédernek 12 ötszöglapja van.
Mivel minden ötszögnek öt hatszöggel és minden hatszögnek három ötszöggel van közös éle, azért a hatszöglapok száma

\frac{5 ℓ_{5}}{3}

, hiszen

5 ℓ_{5}

-ben minden hatszöglapot háromszor számoltunk.

\begin{matrix} ℓ_{6} = \frac{5 ℓ_{5}}{3} = \frac{5 \cdot 12}{3} = 20 \end{matrix}

Tehát a feladatban leírt testnek

ℓ = ℓ_{5} + ℓ_{6} = 12 + 20 = 32

lapja van. (A hagyományos bőr focilabdákat is ilyen és ennyi bőrdarabból varrják össze.)

Megjegyzés. Egy ilyen test konstrukciója megtalálható Nagy Gyula: Focilabda (5,6,6) című cikkében (KöMaL, 1996/5., 268. oldal).