Kezdőlap


Feladat:	C.763	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Farkas Judit
Füzet:	2005/február, 82 - 83. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Koszinusztétel alkalmazása, Térgeometriai számítások trigonometriával, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/április: C.763

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A legalsó polc éleit jelölje $a$ és $b$ , a téglalap átlója legyen $e$ , a polcok távolsága $x$ . A két pók tartózkodási helye az $E$ és $F$ pont, $E F = h$ , $F G = f$ , $E G = g$ . A harmadik pók a $G$ pontból figyeli a másik kettőt, $F G E ∢ = 120^{\circ}$ .

A keletkezett derékszögű háromszögekre írjuk fel Pitagorasz tételét:

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} & = e^{2}, \\ e^{2} + {(2 x)}^{2} & = h^{2}, \\ b^{2} + x^{2} & = g^{2}, \\ a^{2} + x^{2} & = f^{2} . \end{matrix}

F G E

háromszögben a

h

oldalra felírt koszinusz tétel:

\begin{matrix} h^{2} = f^{2} + g^{2} - 2 f g \cdot cos 120^{\circ} . \end{matrix}

Helyettesítsük be az előbb felírt Pitagorasz-tételekből

e

f

g

h

kifejezéseit, valamint a

cos 120^{\circ} = - \frac{1}{2}

értéket:

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + 4 x^{2} = a^{2} + x^{2} + b^{2} + x^{2} + \sqrt[]{(a^{2} + x^{2}) (b^{2} + x^{2})} . \end{matrix}

Végezzük el a kijelölt műveleteket; négyzetre emelés és rendezés után kapjuk:

\begin{matrix} 3 x^{4} - (a^{2} + b^{2}) x^{2} - a^{2} b^{2} = 0, ahol a = 30, b = 40. \end{matrix}

Helyettesítés után a következő negyedfokú egyenlethez jutunk:

\begin{matrix} 3 x^{4} - 2500 x^{2} - 1 440 000 = 0. \end{matrix}

Innen

x \approx \sqrt[]{1225, 13}

az egyenlet pozitív gyöke. A polcok távolsága

x \approx 35

cm.