Kezdőlap


Feladat:	C.762	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Tóth Réka
Füzet:	2005/január, 26 - 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömb és részei, Kocka, Térfogat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/április: C.762

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tudjuk, hogy a kocka köré írt gömb sugarának hossza egyenlő a kocka testátlója felének a hosszával, a beírt gömb sugara pedig egyenlő a kocka élhosszának a felével. Jelölje $a$ a $K_{1}$ kocka élét, körülírt gömbjének sugarát $r_{1}$ , felszínét $F_{1}$ ; a kockába írt gömb térfogatát $V_{1}$ .

\begin{matrix} r_{1} = \frac{a \sqrt[]{3}}{2}, F_{1} = 4 {(\frac{a \sqrt[]{3}}{2})}^{2} π, V_{1} = \frac{4 {(\frac{a}{2})}^{3} π}{3} . \end{matrix}

K_{2}

kocka éle

b

, beírt gömbjének sugara

r_{2}

, felszíne

F_{2}

, körülírt gömbjének térfogata

V_{2}

\begin{matrix} r_{2} = \frac{b}{2}, F_{2} = 4 {(\frac{b}{2})}^{2} π, V_{2} = \frac{4 {(\frac{b \sqrt[]{3}}{2})}^{3} π}{3} . \end{matrix}

Tudjuk, hogy

F_{1} = 2 F_{2}

, azaz

4 π {(\frac{a \sqrt[]{3}}{2})}^{2} = 2 \cdot 4 π {(\frac{b}{2})}^{2}

. Innen egyszerűsítés és rendezés után kapjuk, hogy

a = b \sqrt[]{\frac{2}{3}}

.
A keresett térfogatok aránya:

\begin{matrix} \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{4 {(\frac{a}{2})}^{3} π}{3}}{\frac{4 {(\frac{b \sqrt[]{3}}{2})}^{3} π}{3}} . \end{matrix}

Végezzük el az egyszerűsítéseket és helyettesítsük be az

a = b \sqrt[]{\frac{2}{3}}

-ot, kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{{(\sqrt[]{\frac{2}{3}})}^{3}}{{(\sqrt[]{3})}^{3}} = \frac{2 \sqrt[]{2}}{27} \approx 0, 1048. \end{matrix}

II. megoldás. Jelölje

f (K_{i})

és

K_{i} (f)

i

-edik kocka körülírt és beírt gömbjének a felszínét (

i = 1,2

v (K_{i})

és

K_{i} (v)

pedig ezeknek a gömböknek a térfogatát.
Egy kocka beírt és körülírt gömbje hasonló, a hasonlóság aránya az átmérők, vagyis a kocka élének és testátlójának az aránya,

1 : \sqrt[]{3}

. Hasonló testek felszínének, illetve térfogatának az aránya a hasonlóság arányának a négyzete, illetve a köbe; így

\frac{f (K_{i})}{K_{i} (f)} = {(\sqrt[]{3})}^{2} = 3

és

\frac{v (K_{i})}{K_{i} (v)} = {(\sqrt[]{3})}^{3} = 3 \sqrt[]{3}

.
A feltétel szerint

\frac{f (K_{1})}{K_{2} (f)} = 2

. Innen

\begin{matrix} \frac{f (K_{1})}{f (K_{2})} = \frac{f (K_{1})}{K_{2} (f)} \cdot \frac{K_{2} (f)}{f (K_{2})} = 2 \cdot {(\frac{1}{\sqrt[]{3}})}^{2} = \frac{2}{3}, \end{matrix}

K_{1}

és a

K_{2}

kockák körülírt gömbjei felszínének az aránya. Ez a kockák felszínének az aránya is, a kockák hasonlósága arányának a négyzete. Ennek az aránynak a köbe a két kocka ‐ és így a két beírt, illetve körülírt gömb térfogatának az aránya is.
A feladat kérdésében szereplő arány tehát

\begin{matrix} \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{K_{1} (v)}{v (K_{2})} = \frac{K_{1} (v)}{K_{2} (v)} \cdot \frac{K_{2} (v)}{v (K_{2})} = {(\sqrt[]{\frac{2}{3}})}^{3} \cdot \frac{1}{3 \sqrt[]{3}} = \frac{2 \sqrt[]{2}}{27} . \end{matrix}