Feladat: C.760 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Tassy Gergely 
Füzet: 2005/január, 25 - 26. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Természetes számok, Tizes alapú számrendszer, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/április: C.760

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A fizetendő és a visszajáró összeg is háromjegyű (nem feltétlenül különböző jegyekből álló) egész szám. Jelölje abc¯ a fizetendő összeget. A visszajáró összegben az a, b, c számok valamilyen ‐ az előzőtől különböző ‐ sorrendben fordulnak elő. Ezek a következők lehetnek:

a,c,b;b,a,c;b,c,a;c,a,b;ésc,b,a.
Vizsgáljuk meg külön-külön ezeket az eseteket.
1. abc+acb1000
Ekkor vagy b+c=0 miatt b=c=0 és ekkor a=5, de itt a számok sorrendje nem különböző; vagy b+c=10, de ekkor az 1 maradék miatt a b+c+1 összeg nem végződhetne 0-ra. Ez tehát nem lehetséges.
2. abc+bac1000
Innen vagy c=0, ez nem lehetséges, mert akkor b+a=10 és a+b+1=10 lenne; vagy c=5 és b+a+1=10 miatt b+a=9, a számjegyek összege pedig 9+5=14.
3. abc+bca1000
Innen c+a=10, c+b+1=10, ahonnan a-b=1, és a+b+1=10 miatt a+b=9. Az egyenletrendszerből a=5, c=5, b=4, a számjegyösszeg 14.
4. abc+cab1000
Az előzőekhez hasonlóan b+c=10, a+b=9, és a+c=9, ahonnan a=4, b=5 és c=5, a számjegyösszeg 14.
5. abc+cba1000
Végül a és c nem lehet egyszerre 0, mert akkor nem kaphatnánk háromjegyű számot. Ha viszont a+c=10, akkor 2b+1=10 nem lehetséges.
Láthatjuk, hogy ha van megoldás, például 365 és 635, akkor a számjegyek összege 14.
 
II. megoldás. Jelölje a vételárat A, az A számjegyeinek az összegét pedig S(A). A feltétel szerint A és 1000-A ugyanazokból a jegyekből állnak. Először megmutatjuk, hogy ekkor A utolsó jegye nem lehet 0. Ha ez volna a helyzet, akkor az A első két jegyéből álló xy¯=10x+y kétjegyű számra 100-xy¯ is ugyanezekből a jegyekből áll, csak fordított sorrendben. Ez viszont nem lehetséges, hiszen 10x+y+10y+x=11(x+y) és ez a 11-gyel osztható összeg nem lehet egyenlő 100-zal.
Ha A utolsó jegye nem 0, akkor S(1000-A)=1+S(999-A). Mivel a 999-A kivonást helyiértékenként átvitel nélkül végezhetjük el, azért S(999-A)=3⋅9-S(A)=27-S(A), tehát S(1000-A)=1+27-S(A). Mivel A és 1000-A jegyei azonosak, így S(A)=S(1000-A)=28-S(A), azaz S(A)=14.
A feladatban leírt háromjegyű számok jegyeinek összege tehát 14. Ilyen szám létezik, például a 365.
 
Megjegyzés. Az nem igaz, hogy ha S(A)=14, akkor A a feladat feltételeinek megfelelő háromjegyű szám, például A=536 esetén 1000-A az A jegyeinek átrendezésével kapott számok mindegyikétől különbözik.