Feladat: B.3721 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2005/február, 89 - 90. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Halmazalgebra, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/március: B.3721

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Vegyük észre, hogy az (a*b)*a kifejezésben a műveletet balról jobbra haladva végezzük el. Az a*(b*a) műveletben viszont először a jobb oldali kifejezést kell kiértékelnünk. Mi a balról jobbra haladási irányhoz ismerünk egy azonosságot, ezért célszerű olyan alakra hozni az a*(b*a) kifejezést, hogy abban balról jobbra haladva végezhessük el a műveletet.
Írjunk a helyére egy, az ismert azonossághoz hasonló alakú, a-val egyenlő kifejezést. A feltételben a és b cseréjével a (b*a)*b=a összefüggést kapjuk.
Így

a*(b*a)=((b*a)*b)*(b*a),
amely ismét olyan alakú, mint az adott azonosság bal oldala, de a helyén most (b*a) áll. Ezért ((b*a)*b)*(b*a)=b, és éppen ezt akartuk bizonyítani.
 
Megjegyzés. A művelet rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy minden S-beli a, b esetén (a*b)*a=b, a*(b*a)=b. Ebből következik, hogy minden S-beli a, b esetén (a*b)*a=a*(b*a). Ez azonban nem jelenti azt, hogy a művelet asszociatív. (Ehhez tetszőleges a, b, c∈S elemekre (a*b)*c=a*(b*c) kellene teljesüljön, de ezt az adott feltételek csak c=a választás mellett biztosítják.) Az alábbi példa is mutatja, hogy egy ilyen művelet nem feltétlenül asszociatív.
Legyen a*b=|a-b| az egész számok halmazán.
Ellenőrizhető, hogy
||a-b|-a|=|a-|a-b||
(bár ezek nem feltétlenül egyenlőek b-vel). Ez a művelet pedig nem asszociatív.
Fordítva is gondok merülhetnek fel: ha a * művelet asszociatív, akkor a speciális c=a választással ugyan (a*b)*a=a*(b*a), de nem biztos, hogy (a*b)*a=b. Gondoljunk az egész számok összeadására.