Kezdőlap


Feladat:	B.3720	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antal László , Csajbók Bence , Estélyi István , Hegyháti Máré , Holló László , Hubai Tamás , Károlyi Márton , Kiss Orsolya , Kiss-Tóth Christián , Komáromy Dani , Kórus Péter , Nagy János , Nagy-Baló András , Rácz Miklós , Strenner Balázs , Szabó Botond , Szabó Tamás , Varga Viktor , Vass Márton
Füzet:	2005/február, 88 - 89. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Irracionális számok és tulajdonságaik, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/március: B.3720

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ Az $u = 1 + \sqrt[]{2}$ , $v = - \sqrt[]{2}$ választással $u + v = 1$ racionális.
Páros $n$ esetén $u^{n}$ irracionális, $v^{n}$ racionális, tehát az összegük irracionális.
Páratlan $n$ esetén

\begin{matrix} u^{n} + v^{n} = {(1 + \sqrt[]{2})}^{n} - {(\sqrt[]{2})}^{n} = (1 + \sqrt[]{2} - \sqrt[]{2}) \cdot \\ \cdot ({(1 + \sqrt[]{2})}^{n - 1} + {(1 + \sqrt[]{2})}^{n - 2} \sqrt[]{2} + ... + (1 + \sqrt[]{2}) {(\sqrt[]{2})}^{n - 2} + {(\sqrt[]{2})}^{n - 1}) . \end{matrix}

A második zárójeles kifejezésben egész számok összege és

\sqrt[]{2}

hatványainak többszöröse szerepel,

a + b \sqrt[]{2}

alakú. Minden együttható pozitív, ezért elég belátni, hogy van olyan tag, amelyben

\sqrt[]{2}

együtthatója nem 0. Az

(1 + \sqrt[]{2}) {(\sqrt[]{2})}^{n - 2}

tagban beszorozva például ezt kapjuk:

{(\sqrt[]{2})}^{n - 2} + {(\sqrt[]{2})}^{n - 1}

. Itt

{(\sqrt[]{2})}^{n - 2}

-ben a

\sqrt[]{2}

páratlan hatványon szerepel, tehát biztosan nem 0 az együtthatója.

b)

Tegyük fel, hogy léteznek ilyen

u

és

v

számok.
Nem lehet

u

és

v

egyszerre 0, mert akkor

u + v

nem irracionális.
Nem lehet, hogy

u

vagy

v

egyike 0, mert például ha

u = 0

, akkor

v

irracionális, és így

v^{3} = v \cdot v^{2}

miatt vagy

v^{2}

, vagy

v^{3}

szintén irracionális lenne, ami ellentmond a feltevésünknek.

\begin{matrix} {(u^{2} + v^{2})}^{2} - (u^{4} + v^{4}) = 2 u^{2} v^{2}, \end{matrix}

tehát

2 u^{2} v^{2}

, vagyis

u^{2} v^{2}

is racionális, mert

u^{2} + v^{2}

és

u^{4} + v^{4}

is az.
Ha minden

n \geq 2

esetén

u^{n} + v^{n}

racionális, akkor speciálisan

n = 2

-re, 3-ra és 5-re is az. Írjuk most fel a következő szorzatot:

\begin{matrix} (u^{2} + v^{2}) (u^{3} + v^{3}) = u^{5} + v^{5} + u^{2} v^{2} (u + v) . \end{matrix}

Azonos átalakítással (

u \neq 0

v \neq 0

\begin{matrix} \frac{(u^{2} + v^{2}) (u^{3} + v^{3}) - (u^{5} + v^{5})}{u^{2} v^{2}} = (u + v) . \end{matrix}

(1)

Eszerint (1) bal oldalán racionális szám áll, a jobb oldal tehát nem lehet irracionális.