Feladat:	B.3715	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Farkas Ádám László
Füzet:	2005/május, 274. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/március: B.3715

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Szorozzuk meg a bizonyítandó egyenlőtlenség mindkét oldalát $n\left(n-1\right)$-gyel. Ez az egyenlőtlenség ekvivalens átalakítása, mivel $n>1$. Rendezés után szorzattá alakíthatunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle 0\le -n{x}^{n-1}+n{x}^n-x^n+1=\left(x-1\right)\left[n{x}^{n-1}-\left(1+x^1+x^2+\text{...}+x^{n-1}\right)\right]\mathrm{.}}\end{array}$ Ha $x\ge 1$, akkor $x-1\ge 0$, és $x^0\mathrm{,}{x}^1\mathrm{,}{x}^2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}^{n-1}\le x^{n-1}$, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1+x^1+x^2+\text{...}+x^{n-1}\right)\le n\cdot x^{n-1}\mathrm{,}}\end{array}$ így $n{x}^{n-1}-\left(1+x^1+x^2+\text{...}+x^{n-1}\right)\ge 0$, azaz ilyenkor $\begin{array}{c}{\displaystyle 0\le \left(x-1\right)\left[n{x}^{n-1}-\left(1+x^1+x^2+\text{...}+x^{n-1}\right)\right]\mathrm{.}}\end{array}$ Ha $0<x<1$, akkor $x-1<0$, és $x^0\mathrm{,}{x}^1\mathrm{,}{x}^2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}^{n-1}\ge x^{n-1}$, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle 1+x^1+x^2+\text{...}+x^{n-1}\ge n\cdot x^{n-1}\mathrm{,}}\end{array}$ így $n{x}^{n-1}-\left(1+x^1+x^2+\text{...}+x^{n-1}\right)\le 0$, azaz most is teljesül, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 0\le \left(x-1\right)\left[n{x}^{n-1}-\left(1+x^1+x^2+\text{...}+x^{n-1}\right)\right]\mathrm{.}}\end{array}$ Ezzel minden esetben igazoltuk az egyenlőtlenséget.