Kezdőlap


Feladat:	C.755	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csóka Győző
Füzet:	2005/február, 81 - 82. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egészrész, törtrész függvények, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/március: C.755

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Számoljuk össze azokat az eseteket, amikor egy- és kétforintosokat használunk a váltáskor, de ötforintost nem.
A csupa egyforintosra történő váltás egy lehetőséget jelent. Ezután váltsunk át két darab egyforintost egy kétforintosra, majd így tovább 4 darabot, 6 darabot stb. Ez összesen az előbbivel együtt $[\frac{1000}{2}] + 1 = 501$ lehetőséget ad.
Legyen most ötforintos is a váltópénzek között. Jelölje $n$ az egy- és kétforintos érmék értékeinek összegét és $k$ az ötforintosok számát. Ekkor $n = 1000 - 5 k$ , ahol $0 \leq k \leq 200$ . Az előbb láttuk, hogy $k = 0$ esetén (vagyis amikor ötforintos nem szerepel) a váltások száma $[\frac{1000}{2}] + 1$ , általában pedig $[\frac{1000 - 5 k}{2}] + 1$ .
Írjuk fel $k$ összes lehetséges értéke esetén a lehetséges váltások számát:

\begin{matrix} \begin{matrix} k & n = 1000 - 5 k & a lehetséges váltások száma:[\frac{1000 - 5 k}{2}] + 1 \\ 200 & 0 & 1 \\ 199 & 5 & 3 \\ 198 & 10 & 6 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 995 & 498 \\ 0 & 1000 & 501 \end{matrix} \end{matrix}

Látható, hogy

k = 200

-tól 1-ig, ha a szomszédos tagokat páronként összeadjuk, egy 100 tagú számtani sorozatot kapunk, amelynek első tagja

a_{1} = 4

, differenciája pedig

d = 10

. Ha összeadjuk ezt a 100 tagot és még hozzáadjuk a

k_{0}

-hoz tartozó értéket, akkor megkapjuk a lehetséges váltások számát:

\begin{matrix} \sum_{k = 0}^{200} ([\frac{1000 - 5 k}{2}] + 1) = S_{100} + 501 = 49 901 + 501 = 50 401, \end{matrix}

ennyiféleképpen lehet 1000 Ft-ot egy-, két- és ötforintosokra váltani.