Feladat: B.3702 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Csajbók Bence ,  Eisenberger András ,  Gerse József ,  Hagymási Imre ,  Hubai Tamás ,  Jankó Zsuzsanna ,  Kiss-Tóth Christián ,  Kovács Péter ,  Molnár András ,  Nyőgér István ,  Pálinkás Csaba ,  Stippinger Marcell ,  Strenner Balázs ,  Szalkai Balázs 
Füzet: 2005/május, 271 - 273. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Játékelmélet, játékok, Maradékos osztás, kongruenciák, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/február: B.3702

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Készítsünk egy táblázatot. Az első oszlopba írjuk be a zsetonok számát (0,1,2,3,...), a második oszlopba pedig az egyes zsetonszámoknak megfelelően azt a számot, amennyit el kell vennünk ahhoz, hogy nyerjünk. Ha az adott zsetonszám mellett a második játékos nem tudna nyerni, akkor az ahhoz tartozó oszlopot húzzuk ki. Azt keressük tehát, hogy hányat vehetünk el a zsetonokból úgy, hogy a másik játékost vesztő helyzetbe kényszerítsük. Ez kétféleképpen lehetséges: vagy olyan zsetonszámot állítunk elő, amely mellett a második oszlopban kihúzott mező áll; vagy olyat, ahol csak ugyanannyi zsetont vehetne el, mint amennyit mi vettünk el az előző lépésünkben, amit a szabályok nem engednek meg.
 
 

Induljunk ki például a 29. sorból. Először nézzük meg, hogy az előtte álló 9 sorban van-e olyan, amelyiknek az oszlopa ki van húzva. Ha van, esetünkben ez a 22. sor, a két sor zsetonszámának különbségét írjuk be a 29. sor másik oszlopába.
Továbbá keressük meg azt a sort, amelynek zsetonszámát kivonva a 29-ből a különbség 1 és 9 közé eső szám lesz és ugyanezt a számot megtaláljuk a 2. oszlopban és ott csak ez az egy szám szerepel. A táblázatból kiolvashatjuk, hog pl. 29-23=6 szerepel a 23. sorban, de ott van még az 1 is a második oszlopban, ez tehát nem jó.
Kövessük végig a táblázatot a 29. sorától:
• 1-gyel előtte (a 28 sorában) két szám áll, így 1 zseton elvétele nem lehet nyerő;
• 2-vel előtte szintén két szám áll, tehát ez sem jó;
• 3-mal előtte három szám áll, így ez sem jó;
• 4-gyel előtte ugyan egy szám áll, de az nem a 4-es;
• 5-tel előtte is egy szám áll, de az meg nem az 5-ös;
• 6-tal előtte két szám áll, így ez nem jó;
• 7-tel előtte kihúzott mező áll, tehát 7 zseton elvétele vesztő helyzetbe hozza a másik játékost, így ez jó nekünk, a 7-et beírjuk a 29. sor 2. oszlopába;
• 8-cal előtte egy szám áll, de az nem 8-as;
• 9-cel előtte szintén egy szám áll, a 9-es, amit ellenfelünk nem ismételhet meg, tehát 9 zseton elvétele is vesztő helyzetet állít elő a másik játékos számára. Ezt is beírjuk.

Így a 29 sorának második mezőjébe a 7 és a 9 kerül.
Ha csak a kihúzott mezőket nézzük és azokat, ahol a második oszlopban csak egy szám szerepel, akkor a 32-edik sortól kezdve ismétlődést fedezhetünk fel, hiszen a 32-edik sor után következő 9 helyen ugyanazok a számok állnak (ahol csak egy szám áll), mint az első 9 sorban.
Tehát a 32-vel osztható számú sorokban (és csak ezekben): 32, 64, 96, a második mező mindenütt ki van húzva. 110 nem osztható 32-vel, tehát a fentiek szerint játszva a kezdő nyeri a játékot.
 
Megjegyzés. Mivel 110=96+14, azért legalább annyi nyerő lépése lesz a kezdő játékosnak, mint a 14 sorában lévő nyerő lépések száma, azaz legalább kettő: a 3 és a 7, de esetleg lehet ezen kívül más is. (Persze ha odáig végignéznénk a táblázatot, akkor kiderülne, van-e más is.)