Kezdőlap


Feladat:	3648. fizika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tóth Gábor
Füzet:	2004/április, 247 - 248. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Örvényáram, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/október: 3648. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A zárt vezetőben a mágneses fluxus változása

\begin{matrix} U = - \frac{Δ Φ}{Δ t} = \frac{B R^{2} π}{τ} \end{matrix}

nagyságú feszültséget indukál. Ennek hatására a vezetékben

\begin{matrix} I = \frac{U}{R_{e}} \end{matrix}

erősségű áram indul, ahol

\begin{matrix} R_{e} = \frac{1}{σ} \cdot \frac{2 R π}{r^{2} π} \end{matrix}

a vezető teljes elektromos ellenállása.
Az áramjárta vezetőben

τ

idő alatt

Q = U I τ

Joule-hő fejlődik, ennek hatására a vezető anyagának hőmérséklete

Δ T

értékkel megnő, és fennáll

\begin{matrix} Q = c m Δ T . \end{matrix}

Itt

\begin{matrix} m = ϱ \cdot 2 π R \cdot r^{2} π \end{matrix}

a vezető tömege.
A fenti képletekből a keresett hőmérsékletváltozás:

\begin{matrix} Δ T = \frac{U I τ}{c m} = \frac{U^{2} τ}{c m R_{e}} = U^{2} \cdot \frac{τ r^{2} σ}{2 c R} \cdot \frac{1}{m} = {(\frac{B R^{2} π}{τ})}^{2} \cdot \frac{τ r^{2} σ}{2 c R} \cdot \frac{1}{2 ϱ π^{2} R r^{2}} = \frac{B^{2} R^{2} σ}{4 τ ϱ c} . \end{matrix}

Megjegyzések. 1. Érdekes, hogy a vezető

r

sugara nem szerepel a végső kifejezésben. Ennek szemléletes magyarázata a következő. Valahányszor (mondjuk 2-szer) nagyobb átmérőjű vezeték elektromos ellenállása (ha egyéb adatai változatlanok) 4-szer kisebb, mint az eredeti vezetéké, emiatt az áramerősség és a fejlődő hő is 4-szer nagyobb, mint eredetileg. Ez a hő viszont 4-szer nagyobb keresztmetszetű, tehát 4-szer nagyobb tömegű anyagot melegít fel, a hőmérsékletváltozás tehát nem fog eltérni az eredeti esettől, azaz

Δ T

nem függ

r

-től.
2. A fenti számolás során a ,,vezetőképességet'' a vezető anyagára jellemző mennyiségként, fajlagos vezetőképességként értelmeztük. Ennek definíciója: egységnyi keresztmetszetű és egységnyi hosszúságú vezető ellenállásának reciproka. Ha a feladat szövegében szereplő vezetőképesség kifejezést az egész körvezető elektromos ellenállásának reciprokaként értjük (jelöljük ezt

σ' = 1 / R_{e}

módon), akkor a végképlet a

\begin{matrix} Δ T = \frac{B^{2} R^{3} σ'}{2 τ ϱ c r^{2}} \end{matrix}

alakot ölti. Több versenyző ezt a képletet adta meg (természetesen

σ'

helyett

σ

-val); megoldásukra a teljes pontszámot kapták.