Kezdőlap


Feladat:	3646. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Birkner Tamás
Füzet:	2004/április, 245 - 246. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmas ütközések, Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/október: 3646. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ Tegyük fel, hogy a golyó sebessége az ütközés előtt $v_{1}$ , az ütközés után pedig $v_{2}$ . A golyó akkor repül ugyanazon a pályán vissza, mint amelyen érkezett, ha $v_{1} = - v_{2}$ . Emellett annak is teljesülnie kell, hogy a golyó a rúdra merőlegesen érkezik és verődik vissza onnan.
Legyen $v = | v_{1} | = | v_{2} |$ , a periódusidőt pedig jelölje $T$ . Két ütközés között a rúd elfordulása

\begin{matrix} φ = \frac{T}{2} ω = \pm \frac{π}{3} = \pm 60^{\circ}, \end{matrix}

s a szimmetria miatt az ábrán látható szög:

α = 30^{\circ}

A golyó sebességének komponensei az ütközés után:

\begin{matrix} v_{y} = v \cdot cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt[]{3}}{2} v, v_{x} = v \cdot sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} v . \end{matrix}

A golyó a periódusidő

\frac{1}{4}

részében emelkedik, ezalatt a függőleges irányú sebessége nullára csökken, tehát

\begin{matrix} v_{y} - g \frac{T}{4} = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} v = \frac{g T}{2 \sqrt[]{3}} . \end{matrix}

A vízszintes sebességkomponens, ami két ütközés között állandó, és a pálya legmagasabb pontján a golyó teljes sebességének nagyságával egyezik meg:

\begin{matrix} v_{x} = \frac{g T}{4 \sqrt[]{3}} = 1, 42 \frac{m}{s} . \end{matrix}

b)

Legyen a rúd hossza

2 L

, az egyik ütközési pont vízszintes koordinátája pedig

X

. Ekkor egyrészt

X = \frac{T}{4} v_{x}

, másrészt

\frac{X}{L} = cos 30^{\circ}

, ahonnan

\begin{matrix} L = \frac{X}{cos 30^{\circ}} = \frac{2 X}{\sqrt[]{3}} = \frac{2}{\sqrt[]{3}} \cdot \frac{T}{4} \cdot \frac{g T}{4 \sqrt[]{3}} = \frac{g T^{2}}{24} \approx 0, 41 m, \end{matrix}

a rúd hossza tehát

2 L \approx 0, 82 m

c)

A forgástengely nem fejt ki forgatónyomatékot a rúdra (a nehézségi erő hatása pedig az ütközés igen rövid ideje alatt elhanyagolható), így a teljes rendszer (rúd + golyó) perdülete (impulzusnyomatéka) ütközés előtt és után ugyanakkora:

\begin{matrix} - m v L + \frac{1}{12} M \cdot {(2 L)}^{2} \cdot ω = m v L - \frac{1}{12} M \cdot {(2 L)}^{2} \cdot ω, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} \frac{m}{M} = \frac{L ω}{3 v} = \frac{\sqrt[]{3} π}{54} \approx 0, 1. \end{matrix}