Kezdőlap


Feladat:	3639. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szilágyi Péter , Vigh Máté
Füzet:	2004/április, 242 - 243. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Áramvezetőre ható erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/szeptember: 3639. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A gyűrűt felfoghatjuk egy kör alakú ,,mérőkeretnek'', amelyben

\begin{matrix} I = \frac{Q}{T} = \frac{Q ω}{2 π} \end{matrix}

áram folyik (

ω

a gyűrű szögsebessége,

T

a forgás periódusideje). A perdületét ismerjük:

N = m r^{2} ω

, ahonnan

ω = \frac{N}{m r^{2}}

(

r

a gyűrű sugara). Ezekből az áramerősség

\begin{matrix} I = \frac{Q}{m} \cdot \frac{N}{2 r^{2} π}, \end{matrix}

a gyűrűre (mint

I \cdot r^{2} π

dipólnyomatékú mágneses dipólusra) ható forgatónyomaték pedig

\begin{matrix} M = B \cdot I \cdot r^{2} π = B \cdot \frac{Q}{m} \cdot \frac{N}{2}, \end{matrix}

ami a megadott numerikus adatokkal

3, 75 \cdot 10^{- 10}

Nm.
II. megoldás. Osszuk fel a gyűrűt

d φ

középponti szögű kicsiny részekre, és vizsgáljuk meg az ábrán

φ

-vel jelölt ívdarabkára ható erőt! Mivel az ívdarab hossza

r \cdot d φ

és a gyűrű teljes töltése

Q

, az ívdarab töltése

\begin{matrix} q = \frac{r d φ}{2 r π} \cdot Q . \end{matrix}

Az ívdarabra ható Lorentz-erő

\begin{matrix} d F = q \cdot v \times B, \end{matrix}

ahol

v

a kérdéses ívdarabka sebessége. Ez az erő az ábrán látható

t

tengelytől jobbra eső részeknél az ábra síkjára merőlegesen befelé, a bal oldalon pedig kifelé mutat, így a szimmetria miatt a gyűrűre éppen a

t

tengely körüli forgatónyomaték hat. Mivel a

v

és

B

vektorok

\frac{π}{2} + φ

szöget zárnak be egymással, továbbá a sebesség nagysága

| v | = r ω

, az ívdarabra ható erő nagysága

\begin{matrix} d F = Q \cdot \frac{r d φ}{2 r π} \cdot r ω \cdot B \cdot sin (\frac{π}{2} + φ), \end{matrix}

a megfelelő forgatónyomaték a

t

tengelyre vonatkozóan

\begin{matrix} d M = d F \cdot r \cdot cos φ = \frac{1}{2 π} \cdot Q \cdot r^{2} ω \cdot B \cdot cos^{2} φ \cdot d φ . \end{matrix}

Az egész gyűrűre ható forgatónyomaték

\begin{matrix} M = \int_{0}^{2 π} d M = \frac{1}{2 π} \cdot Q \cdot r^{2} ω \cdot B \cdot \int_{0}^{2 π} cos^{2} φ d φ . \end{matrix}

Az integrál értéke

π

-vel egyenlő. Ezt az integrálszámítás formális szabályainak alkalmazásával is kiszámíthatjuk, de az integrál geometriai jelentése (a

cos^{2} φ

függvény görbe alatti területe) ismeretében elemi úton is megkaphatjuk. A teljes forgatónyomaték tehát

\begin{matrix} M = \frac{1}{2} \cdot Q \cdot r^{2} ω \cdot B, \end{matrix}

ami a gyűrű

N = m r^{2} ω

perdületével kifejezve

\begin{matrix} M = \frac{1}{2} \cdot \frac{Q}{m} \cdot N \cdot B = 3, 75 \cdot 10^{- 10} Nm. \end{matrix}

Megjegyzés. Érdekes, hogy a gyűrű mágneses nyomatékának (dipólerősségének) és az impulzusnyomatékának (perdületének) aránya csak a fajlagos töltéstől függ, a gyűrű sugarától és a szögsebességétől nem. Ez az észrevétel lehetőséget kínál arra, hogy ismeretlen méretű és szögsebességű testeknél (például a régebben ilyeneknek képzelt elemi részecskéknél) is megvizsgáljuk ezt az arányt, és összehasonlítsuk a mérhető fajlagos töltésükkel. Az elektron például rendelkezik mérhető mágneses nyomatékkal és perdülettel (spinnel), a fajlagos töltése is mérhető, de ezen fizikai mennyiségek között nem a fenti arányossági tényező, hanem annál majdnem pontosan 2-szer nagyobb számfaktor áll. Ez a furcsaság arra utal, hogy az elektron (és a többi elemi részecske) perdülete és mágnessége nem értelmezhető a részecske tengelyforgásával.