A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Alakítsuk át a kifejezést és emeljük ki -t: . Legyen , , . Ekkor | | innen . A bal oldal páratlan, a jobb oldal pedig páros. Ez ellentmondás, ilyen , , páratlan számok tehát nem léteznek.
II. megoldás. Tegyük fel, hogy van egy ilyen számhármas. Legyen , , . Ezek mindegyike egész, mivel két páratlan szám összegét, azaz egy páros számot osztottunk kettővel. Mivel és az , , számok mindegyike páratlan, így is páratlan. Másrészt viszont az eredeti egyenlet úgy is írható, hogy , ezt 4-gyel osztva kapjuk, hogy . Tehát és kettes maradéka is megegyezik, vagyis az összegük, páros. Mivel kettővel osztva egy szám és a négyzete ugyanolyan maradékot ad, azért pontosan akkor páros, ha , hasonlóan és paritása is rendre megegyezik és paritásával. Tehát is páros. Ez ellentmondás. Tehát nincsen megfelelő számhármas.
III. megoldás. Tekintsünk egy derékszögű háromszöget, amelynek oldalai: , , . Ebben a háromszögben teljesül, hogy
Külső pontból a körhöz húzott érintők egyenlők. Írjuk fel a háromszög területét kétféleképpen. . Ha , , páratlan, akkor és is páros, tehát ennek a szorzatnak a fele is páros szám. A szokásos jelölésekkel ugyanakkor . A beírt kör sugara ugyanis a derékszögű háromszögben -val egyenlő, mert az négyszögben három derékszög van, valamint két-két szomszédos oldala egyenlő, tehát négyzet, így . Ha , , páratlan, akkor a szorzat mindkét tényezője páratlan, tehát a szorzat értéke, a terület páratlan. A két eredmény nem egyenlő, vagyis nem léteznek olyan páratlan , , számok, amelyekre az egyenlőség teljesül. |