Kezdőlap


Feladat:	B.3663	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hubai Tamás , Knipl Diána , Meszéna Balázs
Füzet:	2004/április, 228 - 229. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Oszthatóság, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/október: B.3663

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Alakítsuk át a kifejezést és emeljük ki $a$ -t: $a (a + b + c) = b c$ . Legyen $a = 2 x + 1$ , $b = 2 y + 1$ , $c = 2 z + 1$ . Ekkor

\begin{matrix} (2 x + 1) (2 x + 1 + 2 y + 1 + 2 z + 1) = (2 y + 1) (2 z + 1), \end{matrix}

innen

2 x^{2} + 2 x y + 2 x z + 4 x + 1 = 2 y z

. A bal oldal páratlan, a jobb oldal pedig páros.
Ez ellentmondás, ilyen

a

b

c

páratlan számok tehát nem léteznek.

II. megoldás. Tegyük fel, hogy van egy ilyen számhármas.
Legyen

d = \frac{a + b}{2}

e = \frac{a + c}{2}

f = \frac{b + c}{2}

. Ezek mindegyike egész, mivel két páratlan szám összegét, azaz egy páros számot osztottunk kettővel. Mivel

\begin{matrix} d + e + f = \frac{2 a + 2 b + 2 c}{2} = a + b + c \end{matrix}

és az

a

b

c

számok mindegyike páratlan, így

d + e + f

is páratlan.
Másrészt viszont az eredeti egyenlet úgy is írható, hogy

{(2 d)}^{2} + {(2 e)}^{2} = {(2 f)}^{2}

, ezt 4-gyel osztva kapjuk, hogy

d^{2} + e^{2} = f^{2}

. Tehát

d^{2} + e^{2}

és

f^{2}

kettes maradéka is megegyezik, vagyis az összegük,

d^{2} + e^{2} + f^{2}

páros. Mivel kettővel osztva egy szám és a négyzete ugyanolyan maradékot ad, azért

d

pontosan akkor páros, ha

d^{2}

, hasonlóan

e

és

f

paritása is rendre megegyezik

e^{2}

és

f^{2}

paritásával. Tehát

d + e + f

is páros. Ez ellentmondás. Tehát nincsen megfelelő számhármas.

III. megoldás. Tekintsünk egy derékszögű háromszöget, amelynek oldalai:

(a + b)

(a + c)

(b + c)

. Ebben a háromszögben teljesül, hogy

\begin{matrix} {(a + b)}^{2} + {(a + c)}^{2} = {(b + c)}^{2} . \end{matrix}

Külső pontból a körhöz húzott érintők egyenlők. Írjuk fel a háromszög területét kétféleképpen.

T = \frac{(a + c) (a + b)}{2}

. Ha

a

b

c

páratlan, akkor

(a + b)

és

(a + c)

is páros, tehát ennek a szorzatnak a fele is páros szám.
A szokásos jelölésekkel ugyanakkor

T = r s = a (a + b + c)

. A beírt kör sugara ugyanis a derékszögű háromszögben

a

-val egyenlő, mert az

A D O F

négyszögben három derékszög van, valamint két-két szomszédos oldala egyenlő, tehát négyzet, így

a = r

. Ha

a

b

c

páratlan, akkor a szorzat mindkét tényezője páratlan, tehát a szorzat értéke, a terület páratlan. A két eredmény nem egyenlő, vagyis nem léteznek olyan páratlan

a

b

c

számok, amelyekre az egyenlőség teljesül.