Kezdőlap


Feladat:	B.3658	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Király András
Füzet:	2004/április, 228. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos tetraéder, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Hasonlósági transzformációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/szeptember: B.3658

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a tetraéder éleinek hossza 6 egység. Ekkor a szabályos háromszöglapok súlyvonalainak hossza $\frac{6 \sqrt[]{3}}{2} = 3 \sqrt[]{3}$ egység. Mivel a tetraéder szabályos, az $A$ csúcsból a $B C D$ lapra állított merőleges szakasz talppontja egybeesik a $B C D$ lap $M$ súlypontjával. A tetraéder magasságvonalainak hosszát pl. az $A M B$ háromszögből határozhatjuk meg (lásd az 1. ábrát). Az $M$ súlypont harmadolja a súlyvonalat, azért $B M = 2 \sqrt[]{3}$ , tehát Pitagorasz tétele szerint $A M = \sqrt[]{A B^{2} - B M^{2}} = 2 \sqrt[]{6}$ egység.

1. ábra

M

pont a

B C D

szabályos háromszög mindhárom csúcsától egyenlő távolságra van, azért a

P M B

P M C

és

P M D

derékszögű háromszögek egybevágóak (2. ábra). Ez viszont azt jelenti, hogy a

B P C

derékszögű háromszög egyenlő szárú. Mivel

B C

átfogójának hossza 6, ezért befogóinak hossza

P B = P C = \frac{6}{\sqrt[]{2}} = 3 \sqrt[]{2}

egység.

2. ábra

P M B

derékszögű háromszögben ismét Pitagorasz tételét alkalmazva kapjuk, hogy

\begin{matrix} P M^{2} = P B^{2} - B M^{2} = 18 - 12, \end{matrix}

vagyis

P M = \sqrt[]{6} = \frac{A M}{2}

.
A

P

pont tehát felezi az

A M

szakaszt.

Megjegyzés. Egy második megoldás készíthető az első borító ábrája alapján.