Kezdőlap


Feladat:	B.3656	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bodzsár Erik
Füzet:	2004/április, 227. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakaszos tizedestörtek, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/szeptember: B.3656

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ismeretes, hogy adott alapú számrendszerben felírt számokat a számrendszer alapszámával úgy szorozhatunk, hogy az egészek után álló vesszőt ‐ ami a tízes számrendszerben a tizedesvessző ‐ egy helyiértékkel ,,jobbra léptetjük''. Ennek megfelelően az $a \cdot F$ , illetve az $a \cdot G$ számok $a$ -alapú számrendszerben

\begin{matrix} a \cdot F = 3, 7373 ... = 3, \dot{7} \dot{3} és a \cdot G = 7, 3737 ... = 7, \dot{3} \dot{7} . \end{matrix}

Mivel

a \cdot F

és

G

törtrésze egyenlő, a különbségük egész szám:

\begin{matrix} a \cdot F - G = 3. \end{matrix}

(1)

Hasonlóan kapjuk, hogy

\begin{matrix} a \cdot G - F = 7. \end{matrix}

(2)

b

-alapú számrendszerben felírt alakokat

b

-vel szorozva hasonlóan kapjuk, hogy

\begin{matrix} b \cdot F - G & = 2, \dot{5} \dot{2} - 0, \dot{5} \dot{2} = 2, illetve & (3) \\ b \cdot G - F & = 5, \dot{2} \dot{5} - 0, \dot{2} \dot{5} = 5. & (4) \end{matrix}

A kapott négyismeretlenes egyenletrendszerből kell meghatároznunk

a

és

b

értékét, tudva, hogy mindketten 1-nél nagyobb egész számok.
Az (1) és a (3) egyenleteket kivonva

(a - b) F = 1

, a (2) és a (4) egyenletek különbségéből pedig

(a - b) G = 2

adódik. Innen

G = 2 F

, az (1), illetve a (2) egyenletekből tehát

\begin{matrix} \frac{1}{F} = \frac{a - 2}{3} = \frac{2 a - 1}{7} . \end{matrix}

a

értéke ebből az egyenletből 11. Hasonlóan kapjuk a (3) és a (4) egyenletekből, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{F} = \frac{b - 2}{2} = \frac{2 b - 1}{5}, \end{matrix}

ahonnan

b = 8

.
A feladat megoldása tehát

a = 11

és

b = 8

. Ebben az esetben

F = \frac{1}{3}

és

G = \frac{2}{3}

és ezek a törtek valóban a megadott alakúak a 11-es, illetve a 8-as számrendszerben.