Kezdőlap


Feladat:	B.3654	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Jenei Balázs , Magda Gábor
Füzet:	2004/április, 226. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Nevezetes azonosságok, Maradékos osztás, kongruenciák, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/szeptember: B.3654

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Alakítsuk át a feladatban szereplő kifejezést:

\begin{matrix} m^{2} + n^{2} + m + n - 1 = {(m + 5)}^{2} + {(n + 5)}^{2} - (9 m + 9 n + 45) - 6. \end{matrix}

Mivel

9 ∣ 9 m + 9 n + 45

, azért elég az

{(m + 5)}^{2} + {(n + 5)}^{2} - 6

kifejezést vizsgálni, azaz megnézni, hogy két négyzetszám összege adhat-e 6-ot maradékul 9-cel osztva.
Mivel a négyzetszámok 9-cel osztva 0, 1, 4 és 7 maradékot adnak, azért két négyzetszám 9-es maradékának az összege nem lehet 6.

Megjegyzés. Gyorsabban célhoz érhetünk, ha felhasználjuk, hogy két négyzetszám összege pontosan akkor osztható 3-mal, ha mindkét szám a 3 többszöröse, ilyenkor tehát az összeg 9-cel is osztható.

II. megoldás. Egy egész szám és négyzetének a 9-es maradékát felhasználva a következő táblázatot készíthetjük el:

\begin{matrix} \begin{matrix} a & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ a^{2} & 0 & 1 & 4 & 0 & 7 & 7 & 0 & 4 & 1 \\ a^{2} + a & 0 & 2 & 6 & 3 & 2 & 3 & 6 & 2 & 0 \end{matrix} \end{matrix}

Ha van megfelelő

n

és

m

, akkor az

m^{2} + n^{2} + m + n

összeg 9-es maradéka 1. Ezzel szemben a fenti táblázat alsó sorában szereplő számok közül semelyik kettőnek az összege nem ad 1 maradékot 9-cel osztva.