Feladat: B.3622 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ördög Noémi 
Füzet: 2004/április, 225 - 226. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Szöveges feladatok, Skatulyaelv, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/március: B.3622

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A feladat megoldásához használjuk a skatulya-elvet. Az erdőben kijelölünk teniszpálya nagyságú területeket úgy, hogy bármelyik fa ezek közül csak egynek a megvalósítását teheti lehetetlenné. Az erdőt lefedjük 21 m×35 m nagyságú, fél méter széles peremű téglalapokkal. Ezeken belül legyenek a teniszpályák.

 
 

Két szomszédos ilyen terület pereme együtt 1 m széles, így ha az egyiknek a belsejébe benyúlik egy fa, az a másik téglalap belső területét (a lehetséges teniszpálya helyét) nem zavarja.
Az erdő egyik 1001 m hosszúságú oldalát osszuk fel egy 21 m-es és egy 980 m-es szakaszra. Az osztóponton át húzzunk párhuzamost a másik oldallal. Így egy 21 m×945 m-es sávhoz jutunk, amit pontosan 27 darab 21 m×35 m-es téglalapra bonthatunk fel; és egy 980 m×945 m-es téglalaphoz, amelynek 980 m-es oldalára 28-szor mérhető fel a 35 m, 945 m-es oldalára pedig 45-ször mérhető fel a 21 m. Az utóbbi esetben tehát 45⋅28=1260 darab 21 m×35 m-es téglalap és ezen belül összesen ugyanígy 1260 darab teniszpálya jelölhető ki. Az egész erdőben tehát 1287 darab teniszpályát jelöltünk ki úgy, hogy bármelyik fa ezek közül legfeljebb 1-nek a megvalósítását teszi lehetetlenné. Mivel a fák száma 1280, legalább 7 darab teniszpálya biztosan megvalósítható.