Kezdőlap


Feladat:	B.3615	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hartmann Zoltán
Füzet:	2004/április, 225. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paralelepipedon, Térbeli ponthalmazok távolsága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/február: B.3615

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A paralelepipedon minden lapja paralelogramma, és a szemközti lapok egybevágóak. Tudjuk továbbá, hogy egy paralelogrammában az oldalak négyzetösszege megegyezik az átlók négyzetösszegével. Az élek hossza 1. Mivel

\begin{matrix} B_{1} A_{2} = B_{4} A_{3} és A_{1} B_{4} = A_{2} B_{3}, \end{matrix}

innen

\begin{matrix} A_{3} B_{4}^{2} + A_{1} B_{2}^{2} = B_{1} A_{2}^{2} + A_{1} B_{2}^{2} = A_{1} A_{2}^{2} + A_{2} B_{2}^{2} + B_{2} B_{1}^{2} + B_{1} A_{1}^{2} = 4 \end{matrix}

és

\begin{matrix} A_{2} B_{3}^{2} + A_{4} B_{1}^{2} = A_{1} B_{4}^{2} + A_{4} B_{1}^{2} = 4 \end{matrix}

adódik. Tehát

A_{1} B_{2}^{2} + A_{2} B_{3}^{2} + A_{3} B_{4}^{2} + A_{4} B_{1}^{2} = 8

, vagyis a paralelepipedon éleinek hajlásszögétől függetlenül minden esetben 8 a szóban forgó négyzetösszeg.