Kezdőlap


Feladat:	C.734	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Rábai Orsolya
Füzet:	2004/április, 221. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör egyenlete, Koordináta-geometria, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/október: C.734

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Rendezzük át az egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} \frac{2 + y}{x} - \frac{4 - x}{y} < 0, (x \neq 0, y \neq 0), azaz \frac{2 y + y^{2} - 4 x + x^{2}}{x y} < 0. \end{matrix}

A tört értéke akkor negatív, ha a számláló és nevező szorzata negatív:

\begin{matrix} (2 y + y^{2} - 4 x + x^{2}) (x y) < 0. \end{matrix}

x y > 0

, az első és harmadik síknegyedben, akkor

2 y + y^{2} - 4 x + x^{2} < 0

. Átalakítva:

\begin{matrix} {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} < 5, \end{matrix}

egy kör egyenletét kaptuk. A középpont koordinátái:

O (2; - 1)

és

r = \sqrt[]{5}

. Az egyenlőtlenséget kielégítő

P (x; y)

pontok a nyílt körlemeznek az első és a harmadik síknegyedébe eső pontjai (a határát leszámítva).

Ha viszont

x y < 0

, akkor

\begin{matrix} {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} > 5. \end{matrix}

Az egyenlőtlenséget kielégítő pontok a körön kívül helyezkednek el a 2. és 4. síknegyedben.