Kezdőlap


Feladat:	C.732	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hotzi Bernadett
Füzet:	2004/április, 220 - 221. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai egyenlőtlenségek, Nevezetes azonosságok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/október: C.732

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tekintsük az alábbi minden nem negatív valós $a$ és $b$ -re igaz egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} {(\sqrt[]{a} - \frac{1}{2})}^{2} + {(\sqrt[]{b} - \frac{1}{2})}^{2} \geq 0. \end{matrix}

(1)

Végezzük el a négyzetre emelést:

\begin{matrix} a + \frac{1}{4} - \sqrt[]{a} + b + \frac{1}{4} - \sqrt[]{b} \geq 0. \end{matrix}

Rendezés után éppen a bizonyítandó egyenlőtlenséget kapjuk, vagyis

\begin{matrix} a + b + \frac{1}{2} \geq \sqrt[]{a} + \sqrt[]{b} . \end{matrix}

(1)-ből leolvasható, hogy az egyenlőség feltétele

\sqrt[]{a} = \frac{1}{2} = \sqrt[]{b}

, azaz

a = b = \frac{1}{4}