Kezdőlap


Feladat:	C.703	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Farkas Csaba
Füzet:	2004/április, 218. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/január: C.703

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A polinom diszkriminánsa

\begin{matrix} D = 100 p^{2} - 8 (7 p - 1) = 4 (25 p^{2} - 14 p + 2) = 4 [{(5 p - \frac{14}{10})}^{2} + \frac{4}{100}] > 0, \end{matrix}

az egyenletnek a

p

paraméter minden értékére van megoldása.
Vizsgáljuk meg az

f (x) = 2 x^{2} - 10 p x + 7 p - 1

függvényt a

(- 1; 1)

intervallumon. Ha

x = - 1

, a függvény értéke

f (- 1) = 1 + 17 p

; ha

x = 1

, akkor

f (1) = 1 - 3 p

. A függvény előjelet vált, ha

f (1) \cdot f (- 1) < 0

, vagyis

(1 + 17 p) \cdot (1 - 3 p) < 0

; ez azt jelenti, hogy az egyik tényező pozitív, a másik negatív. Innen

p > \frac{1}{3}

, illetve

p < - \frac{1}{17}

.
Azaz, ha

p > \frac{1}{3}

vagy

p < - \frac{1}{17}

, akkor az egyenletnek egy gyöke van a

(- 1; 1)

intervallumban.
Ha viszont

- \frac{1}{17} < p < \frac{1}{3}

, akkor

f (- 1) = 1 + 17 p > 0

, valamint

f (1) = 1 - 3 p > 0

. Vegyük észre, hogy

p

értékétől függetlenül

f (0, 7) = - 0, 02

. Ez negatív, viszont

f (1), f (- 1) > 0

, ezért a függvény ebben az esetben a

(- 1; 1)

intervallumban kétszer vált előjelet. Tehát az egyenletnek ebben az intervallumban két gyöke van, ha

- \frac{1}{17} < p < \frac{1}{3}

.
Ha

p = - \frac{1}{17}

, akkor

f (- 1) = 0

; ha

p = \frac{1}{3}

, akkor

f (1) = 0

(lásd az ábrát).

Összefoglalva: ha

p \geq \frac{1}{3}

vagy

p \leq - \frac{1}{17}

, akkor a függvénynek egy gyöke van a

(- 1; 1)

intervallumban, ha pedig

- \frac{1}{17} < p < \frac{1}{3}

, akkor kettő.