Kezdőlap


Feladat:	2004. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2004/november, 498 - 501. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szilárd anyagok szerkezete, Egyéb nyújtás, összenyomás, Kényszerrezgés, Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/október: 2004. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

3. feladat. Atomi erő mikroszkóp
$(a)$ A $z (t) = A sin (ω t - Φ)$ függvényt behelyettesítve a szinuszos gerjesztéssel csillapított kényszerrezgést leíró $m \ddot{z} + b \dot{z} + m ω_{0}^{2} z = F_{0} sin (ω t)$ egyenletbe, és $sin (ω t - Φ)$ -re, $cos (ω t - Φ)$ -re alkalmazva az addíciós azonosságokat, rendezés után azt kapjuk, hogy:

\begin{matrix} {\overset{}{\overset{︷}{(b A ω sin Φ + m A (ω_{0}^{2} - ω^{2}) cos Φ - F_{0})}}}_{}^{0} sin (ω t) + & (1) \\ + {\underset{︸}{(- m A (ω_{0}^{2} - ω^{2}) sin Φ + b A ω cos Φ)}}_{0}^{} cos (ω t) = 0. \end{matrix}

Ez az egyenlet csak úgy állhat fenn minden

t

időpillanatban, ha mindkét kapoccsal jelölt kifejezés zérus. Ebből az

A

amplitúdóra valamint a

Φ

fázis tangensére a

\begin{matrix} tg Φ = \frac{b ω}{m (ω_{0}^{2} - ω^{2})}, A = \frac{F_{0}}{\sqrt[]{b^{2} ω^{2} + m^{2} {(ω_{0}^{2} - ω^{2})}^{2}}} \end{matrix}

(2)

megoldás adódik. Speciálisan az

ω = ω_{0}

,,rezonanciafrekvencián'':

\begin{matrix} Φ = \frac{π}{2}, A = \frac{F_{0}}{b ω_{0}} . \end{matrix}

(3)

Megjegyezzük, hogy a rezonanciafrekvencia szó itt kicsit félrevezető, ugyanis (2) második összefüggése szerint nem zérus csillapítás mellett (

b > 0

) az

A (ω)

amplitúdó a maximumát nem

ω_{0}

, hanem

ω_{{max}_{}^{}} = ω_{0} \sqrt[]{1 - \frac{b^{2}}{2 m^{2} ω_{0}^{2}}}

értéknél veszi fel. Azonban a feladatban szereplő

ω_{0} ≫ \frac{b}{m} > 0

feltevés mellett, azaz kis csillapításnál

ω_{max} \approx ω_{0}

, ezért a feladat további részében is ,,rezonanciafrekvencián'' kicsit pongyolán a gerjesztés és csillapítás nélkül létrejövő rezgés

ω_{0}

frekvenciáját értjük.

(b)

2 sin α sin β = cos (α - β) - cos (α + β)

azonosság felhasználásával a lock-in erősítőben létrejövő szorzat jel a következő alakban írható:

\begin{matrix} V_{i} V_{R} & = V_{i 0} sin (ω_{i} t - Φ_{i}) V_{R 0} sin (ω t) = & (4) \\ = \frac{V_{i 0} V_{R 0}}{2} (cos [(ω_{i} - ω) t - Φ_{i}] - cos [(ω_{i} + ω) t - Φ_{i}]) . \end{matrix}

Általában mindkét koszinusz függvény időátlaga nulla. A szorzat jelnek csak az

ω_{i} = ω

speciális esetben van egyenfeszültségű komponense, ugyanis ekkor az első koszinusz függvény argumentuma független az időtől. Ekkor a kimenő jel egyenfeszültségű komponense:

\begin{matrix} \frac{V_{i 0} V_{R 0}}{2} cos Φ_{i} . \end{matrix}

(5)

Megjegyezzük, hogy a fenti számolás rávilágít a lock-in erősítési technika lényegére. Tegyük fel ugyanis, hogy a

V_{i}

bemenő jelet nagy, esetleg magánál a

V_{i 0}

jelamplitúdónál is nagyobb véletlen zaj terheli. Hagyományos módon ekkor nem tudnánk kiszűrni a mérendő jelet a háttérzajból. Azonban a lock-in detektor kimenetén a véletlen zaj nulla időátlagú jelet ad, úgy, ahogy

ω_{i} \neq ω

esetén is zérus a kimeneti jel időátlaga. Pontosabban, a zajt is, mint ahogy minden más jelet, fel lehet bontani különböző frekvenciájú szinuszos jelek összegére (ezt hívják Fourier‐analízisnek). A lock-in detektor egy igen erősen szelektív frekvenciaszűrőként működik, a referencia jel

ω

frekvenciájának egy nagyon szűk környékén átengedi a jelet, míg minden más frekvenciájú Fourier-komponenst elnyom. Így a zaj nagy része nem jelenik meg a kimeneten, míg az

ω

frekvenciájú jel zavartalanul átjut a lock-in erősítőn.

(c)

(a)

pont (3) eredménye szerint az

ω_{0}

rezonanciafrekvencián az érzékelő kar kitérése

π / 2

fázissal késik a gerjesztéshez képest. Így az

F = c_{1} V'_{R} = c_{1} V_{R 0} sin (ω t + \frac{π}{2})

gerjesztés hatására a fotoérzékelő kimenő jele

V_{i} = c_{2} z = c_{1} c_{2} \frac{V_{R 0}}{b ω_{0}} sin (ω t)

alakú, azaz azonos fázisban van a

V_{R} = V_{R 0} sin (ω t)

referencia jellel. Így az (5) formulában

Φ_{i} = 0

, tehát a lock-in erősítő egyenáramú kimenő jele:

\begin{matrix} \frac{V_{i 0} V_{R 0}}{2} cos 0 = c_{1} c_{2} \frac{V_{R 0}^{2}}{2 b ω_{0}} . \end{matrix}

(6)

(d)

Δ m

tömegváltozás hatására az új rezonanciafrekvencia

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{k}{m}} {(1 + \frac{Δ m}{m})}^{- \frac{1}{2}} \approx ω_{0} (1 - \frac{Δ m}{2 m}), tehát Δ ω_{0} = - ω_{0} \frac{Δ m}{2 m} . \end{matrix}

(7)

A rezonanciafrekvencia és a tömegváltozás hatására (2) első egyenletének értelmében a gerjesztés és a kialakult kényszerrezgés közti

Φ

fázis is megváltozik. Kezdetben (a tömegváltozás előtt) a rendszer

ω = ω_{0}

rezonanciafrekvencián működött, és a fázistolás értéke

Φ = π / 2

volt. A tömeg megváltozása nem befolyásolja az

ω = ω_{0}

gerjesztési frekvenciát, azonban a fázis, a tömeg, ill. a rezonanciafrekvencia a

ϕ \to \frac{π}{2} + Δ ϕ

m \to m + Δ m

, ill.

ω_{0} \to ω_{0} + Δ ω_{0}

formulának megfelelően eltolódik. Ezeket a helyettesítéseket elvégezve (2) első egyenletében, és

Δ Φ

, ill.

Δ m

kicsiny értékei mellett alkalmas közelítést használva

\begin{matrix} {\underset{︸}{tg (\frac{π}{2} + Δ Φ)}}_{\approx - 1 / Δ Φ}^{} = b ω_{0} / {\underset{︸}{([m + Δ m] [{(ω_{0} + Δ ω_{0})}^{2} - ω_{0}^{2}])}}_{\approx - Δ m ω_{0}^{2}}^{}, \end{matrix}

(8)

adódik, ahonnan a fáziseltolódásból még éppen kimutatható tömegváltozás:

\begin{matrix} Δ m = \frac{Δ Φ b}{ω_{0}} = \frac{b}{m} \cdot \frac{m^{\frac{3}{2}}}{k^{\frac{1}{2}}} \cdot Δ Φ = 10^{3} \cdot 10^{- 18} \cdot \frac{π}{1800} kg = 1, 7 \cdot 10^{- 18} kg . \end{matrix}

(9)

(e)

Mivel a minta által kifejtett

f (h) \approx f (h_{0}) + c_{3} (h - h_{0})

erő is lineárisan függ a kar elmozdulásától, csakúgy, mint a rugóerő, a két erő eredője egy új,

k'

rugóállandójú effektív rugóerőnek tekinthető, és ez határozza meg az új rezonanciafrekvenciát. Pontosabban a

h_{0}

egyensúlyi helyzettől mért

z = h - h_{0}

kitérésre a következő mozgásegyenlet írható fel:

\begin{matrix} m \ddot{z} + b \dot{z} + m ω_{0}^{2} z = F_{0} sin (ω t) + c_{3} z . \end{matrix}

(10)

(Az új egyensúlyi helyzetben az

f (h_{0})

konstans kiesik az egyenletből.)
Látható, hogy az új effektív rugóállandó

k' = m ω_{0}^{2} - c_{3}

, így az új rezonanciafrekvencia:

\begin{matrix} ω'_{0} = \sqrt[]{\frac{k'}{m}} = ω_{0} \sqrt[]{1 - \frac{c_{3}}{m ω_{0}^{2}}}, és Δ ω_{0} = ω'_{0} - ω_{0} \approx - \frac{c_{3}}{2 m ω_{0}} . \end{matrix}

(11)

(f)

A maximális frekvenciaeltolódás akkor jön létre, amikor a mikroszkóp érzékelő tűje éppen a csapdázott elektron fölött van. Ekkor a minta és a kar közti Coulomb-erő

f (h) = k_{e} \frac{q Q}{h^{2}}

. Feltéve, hogy a kar rezgésének amplitúdója jóval kisebb, mint a két töltés

d_{0}

távolsága, az

f (h)

függvényt linearizálhatjuk az egyensúlyi helyzet körül. A meredekségre a

\begin{matrix} c_{3} = \frac{d f}{d h} |_{h = d_{0}} = - 2 k_{e} \frac{q Q}{d_{0}^{3}} \end{matrix}

(12)

érték adódik, ahonnan (11) felhasználásával a frekvenciaeltolódás

Δ ω_{0} \approx \frac{k_{e} q Q}{m ω_{0} d_{0}^{3}}

. Innen a keresett távolság az adatok behelyettesítésével:

\begin{matrix} d_{0} = \sqrt[3]{\frac{k_{e} q Q}{m ω_{0} Δ ω_{0}}} = 4, 1 \cdot 10^{- 8} m = 41 nm . \end{matrix}

(13)

Az 1985-ben G. Binnig, C. F. Quate és Ch. Gerber által felfedezett atomi erő mikroszkóp^{$^{*}$} (Atomic Force Microscope, AFM) két tekintetben is a pásztázó alagútmikroszkóp (Scanning Tunneling Microscope, STM) kishúgának tekinthető: egyrészt a két berendezés felfedezői részben azonosak^{$^{*}$}; másrészt, a két berendezés működési elvének is vannak hasonló vonásai. Mindkét eszközben egy nagyon kisméretű, éles hegyű tűt mozgatnak a minta fölött, soronként pásztázva végig a minta felszínét. Mindkét berendezés alkalmas atomi méretű mintázatok detektálására. Az STM-ben a mért jel a tű és a minta között folyó áram ingadozása, míg az AFM-ben a tűre ható mechanikai erő finom változásait érzékelik. Így az atomi erő mikroszkóp lényegében úgy tapogatja le a minta felszínét, mint ahogy a régi lemezjátszók tűje érzékeli a hangjeleket tartalmazó mikrobarázdákat a bakelit hanglemezen.
A fenti feladat az AFM egy fejlettebb változatának elvi működéséhez kapcsolódik; az érzékelő tű nem kerül direkt kontaktusba a minta felszínével, hanem ahhoz nagyon közel gerjesztett rezgőmozgást végez, és a rezgés fázisának a minta hatására bekövetkező eltolódását detektálják.
Az AFM technikának több jelentős előnye is van a néhány évvel korábban felfedezett STM-mel szemben: a mintát nem kell légüres térbe helyezni, vizsgálhatók levegőben, vagy folyadék alatt levő minták is; a mintának nem kell elektromos vezetőnek lennie; a vizsgálat kevésbé roncsoló hatású, így vizsgálhatók lágyabb minták, például biológiai szövetek is.

^{$^{*}$}Phys. Rev. Lett., 56, 930‐933 (1986).

^{$^{*}$}A pásztázó alagútmikroszkópot G. Binnig és H. Rohrer fedezte föl 1981-ben; felfedezésükért 1986-ban Nobel-díjat kaptak.