Kezdőlap


Feladat:	2004. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2004/november, 491 - 494. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Időben állandó elektromos mező (elektrosztatika), Ütközés fallal, Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/október: 2004. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. feladat. ,,Pingpong-ellenállás''
$(a)$ Az $R$ sugarú, egymástól $d$ ( $d ≪ R$ ) távolságra levő kondenzátorlemezek között ható elektrosztatikus erőt két lényegesen különböző módon is kiszámolhatjuk a kondenzátorra kapcsolt $V$ feszültség ismeretében:
$i)$ Az egyik, például az alsó lemezre ható erő megegyezik a lemezen tárolt $Q$ töltésnek és a másik, felső lemez által keltett $E'$ elektromos térerősségnek a szorzatával. A kondenzátoron belüli térerősség $E = \frac{V}{d} = 2 E'$ , hiszen mindkét kondenzátorlemez azonos $E'$ járulékot ad belül a térhez. Az egyes kondenzátorlemezek $Q$ töltése a kondenzátorlemezt körülvevő hengerfelületre felírt Gauss-tételből kapható meg: $Q = 2 E' ε_{0} R^{2} π$ . Ezek alapján az alsó lemezre ható elektrosztatikus vonzóerő:

\begin{matrix} F = ε_{0} \frac{V^{2} R^{2} π}{2 d^{2}} . \end{matrix}

(1)

i i)

A lemezek között ható erőt megkaphatjuk energetikai megfontolások segítségével is! Tegyük föl, hogy a lemezeket a köztük ható

F

erő ellenében kicsiny

Δ d

távolsággal eltávolítjuk egymástól. Minthogy a kondenzátor állandó

V

feszültségre van kapcsolva, és

C = ε_{0} \frac{R^{2} π}{d}

kapacitása megváltozik, töltése is megváltozik, mégpedig

\begin{matrix} Δ Q = V (C_{2} - C_{1}) = ε_{0} V R^{2} π (\frac{1}{d + Δ d} - \frac{1}{d}) \approx - ε_{0} V R^{2} π \frac{Δ d}{d^{2}} \end{matrix}

(2)

értékkel. (A negatív előjel töltéscsökkenést jelez. A közelítésnél felhasználtuk, hogy

{(1 + α)}^{- 1} \approx 1 - α

, ha

| α | ≪ 1

.)
A kondenzátorlemezek eltávolításakor végzett kicsiny

Δ W = F \cdot Δ d

munka kétféle energiaváltozást fedez. Egyrészt a kondenzátor energiája

Δ E_{kond} = \frac{1}{2} V \cdot Δ Q

értékkel változik meg, hiszen változik a rajta tárolt töltés. Másrészt a telep energiája

Δ E_{telep} = - V \cdot Δ Q

értékkel változik meg, hiszen az egymáshoz képest

V

potenciálkülönbségű kapcsok között

Δ Q

töltés vándorol át. (Ha

Δ Q > 0

, azaz a telep tölti a kondenzátort, akkor energiája csökken, ez indokolja a negatív előjelet.) Tehát a folyamatra a következő formában írható föl az energiamegmaradás tétele:

\begin{matrix} Δ W = F \cdot Δ d = Δ E_{kond} + Δ E_{telep} = - \frac{1}{2} V \cdot Δ Q = ε_{0} V^{2} R^{2} π \frac{Δ d}{2 d^{2}}, \end{matrix}

(3)

ahonnan közvetlenül adódik az előző pontban kapott (1) eredmény.
Felhívjuk a figyelmet arra az érdekes tényre, hogy annak ellenére, hogy a kondenzátorlemezek távolításakor munkát végeztünk, a kondenzátor energiája csökkent, mégpedig pontosan a végzett munkával megegyező értékkel,

Δ W = - Δ E_{kond}

. Ezzel szemben a telep energiája

Δ E_{telep} = 2 Δ W

értékkel nőtt, hiszen a kondenzátor ,,töltötte'' a telepet.

(b)

A kondenzátor alsó fegyverzetén fekvő

r

sugarú kis korong

q

töltése például a Gauss-tétel segítségével kapható meg. Írjuk föl a tételt egy olyan hengerfelületre, amely körbeveszi a kis korongot:

q = ε_{0} E r^{2} π = ε_{0} \frac{r^{2} π}{d} V

, ahonnan a keresett paraméter:

\begin{matrix} χ = ε_{0} \frac{r^{2} π}{d} . \end{matrix}

(4)

Kicsit szellemesebben, egyszerűbben is megkaphatjuk a keresett töltést, ha észrevesszük, hogy a fegyverzet teljes

Q

töltésének éppen a kis korong területére eső

\frac{r^{2}}{R^{2}}

hányada adja meg

q

-t.

(c)

A kis korong akkor emelkedik föl a fegyverzetről, ha a rá ható

q E'

elektrosztatikus erő megegyezik, vagy nagyobb, mint a lefelé mutató

m g

nehézségi erő. Hangsúlyozzuk, hogy az alsó fegyverzeten fekvő korongra ható elektrosztatikus erőt csupán a felső fegyverzet által keltett

E' = \frac{E}{2} = \frac{V}{2 d}

térből kell kiszámolnunk, hiszen az alsó fegyverzet nem fejt ki (függőleges irányú) elektrosztatikus erőt a kis korongra. Így a

V_{k}

küszöbfeszültségre az

m g = q E' = \frac{χ V_{k}^{2}}{2 d}

egyenletből a

\begin{matrix} V_{k} = \sqrt[]{\frac{2 m g d}{χ}} \end{matrix}

(5)

érték adódik.

(d)

Kövessük nyomon a kis korong mozgását, sebességének változását mozgásának egy periódusa alatt! Jelölje a korong sebességének nagyságát az alsó (1), ill. felső (2) fegyverzetnél közvetlenül az ütközés előtt (e) és után (u) rendre

v_{1e}

és

v_{1u}

, ill.

v_{2e}

és

v_{2u}

Az ütközési szám definíciója szerint

\begin{matrix} v_{1u} = η v_{1e}, v_{2u} = η v_{2e} . \end{matrix}

(6)

A két ütközés közti felfelé, illetve lefelé való mozgásra felírhatjuk a mechanikai energiamegmaradás tételét. A nehézségi erő munkájából adódó potenciális energiaváltozás

\pm m g d

, míg az elektromos tér munkája

q V = χ V^{2}

. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a nehézségi erő munkája negatív a fölfelé történő mozgásnál, és pozitív a lefelé való mozgásnál. Ezzel szemben a Coulomb-erő munkája mindkét esetben pozitív, hiszen az alsó fegyverzeten

q

töltésűre feltöltött korong a felső fegyverzeten leadja töltését, és

- q

töltésű lesz. Ezek figyelembevételével a mozgás két szakaszára a mechanikai energiamegmaradás törvénye

\begin{matrix} \begin{matrix} fel: \end{matrix} \frac{1}{2} m v_{2e}^{2} & = \frac{1}{2} m v_{1u}^{2} + χ V^{2} - m g d, & (7) \\ \begin{matrix} le: \end{matrix} \frac{1}{2} m v_{1e}^{2} & = \frac{1}{2} m v_{2u}^{2} + χ V^{2} + m g d & (8) \end{matrix}

alakban írható. A (6)‐(8) egyenletek felhasználásával rendre kifejezhetjük a

v_{2e}

v_{2u}

és

v_{1e}

sebességeket a

v_{1u}

sebességgel:

\begin{matrix} v_{2e}^{2} & = v_{1u}^{2} + \frac{2 χ V^{2}}{m} - 2 g d, & (9) \\ v_{2u}^{2} & = η^{2} v_{2e}^{2} = η^{2} (v_{1u}^{2} + \frac{2 χ V^{2}}{m} - 2 g d), & (10) \\ v_{1e}^{2} & = v_{2u}^{2} + \frac{2 χ V^{2}}{m} + 2 g d = η^{2} v_{1u}^{2} + (1 + η^{2}) \frac{2 χ V^{2}}{m} + (1 - η^{2}) 2 g d . & (11) \end{matrix}

Végül felhasználva (6) első egyenletét, valamint az utolsó, (11) összefüggést, az állandósult mozgás

v_{1u} = v_{s}

sebességére a következő egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} (1 - η^{4}) v_{s}^{2} = η^{2} ((1 + η^{2}) \frac{2 χ V^{2}}{m} + (1 - η^{2}) 2 g d) . \end{matrix}

(12)

Az egyenlet megoldása

\begin{matrix} v_{s}^{2} = \frac{2 χ η^{2}}{m (1 - η^{2})} V^{2} + \frac{2 g d η^{2}}{1 + η^{2}}, \end{matrix}

(13)

ahonnan a keresett

α

és

β

együttható értéke:

\begin{matrix} α = \frac{2 χ η^{2}}{m (1 - η^{2})} és β = \frac{2 g d η^{2}}{1 + η^{2}} . \end{matrix}

(14)

(e)

Ha teljesül a

q V ≫ m g d

feltétel, akkor a kondenzátorlemezek között mozgó korongra ható elektrosztatikus erő jóval nagyobb, mint a nehézségi erő, így ez utóbbit elhanyagoljuk. Ekkor a korong mozgása szimmetrikus; az emelkedés és a süllyedés is egyenletesen gyorsuló mozgás, és a két mozgás csak irányában különbözik. Az előző pontban a sebességekre kapott kifejezések egyszerűsödnek, a (13), (9) és (6) formulák és

g = 0

felhasználásával azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} v_{1u} = v_{2u} = \sqrt[]{α} V, v_{1e} = v_{2e} = \frac{1}{η} v_{1u} = \frac{\sqrt[]{α}}{η} V . \end{matrix}

(15)

A kis korong mozgásának egyik ‐ például az emelkedési ‐ félperiódusában

d

utat tesz meg egyenletesen gyorsulva

v_{1u}

-ról

v_{2e}

sebességre, így a félperiódus ideje

\begin{matrix} t = \frac{2 d}{v_{1u} + v_{2e}} = \frac{2 d η}{\sqrt[]{α} (1 + η) V} . \end{matrix}

Az átszállított töltés

q = χ V

, tehát az állandósult állapot elérése után a kis korong által szállított áram átlagos értéke

I = \frac{q}{t}

, ahonnan a keresett

γ

együttható:

\begin{matrix} γ = \frac{χ \sqrt[]{α} (1 + η)}{2 d η} = \sqrt[]{\frac{χ^{3} (1 + η)}{2 m d^{2} (1 - η)}} . \end{matrix}

(16)

(f)

Ebben a részfeladatban újra figyelembe kell vennünk a nehézségi erő hatását, hiszen kis feszültségértékeknél

q V / ≫ m g d

. A feszültséget csökkentve az áram akkor szűnik meg, amikor a korong sebessége olyan kicsinnyé válik, hogy az már nem emelkedik fel a felső fegyverzetig. A

V_{c}

kritikus feszültség mellett a korong éppen

v_{2e} = 0

sebességgel éri el a felső lapot. A (9) és (13) összefüggéseket felhasználva a

\begin{matrix} 0 = \frac{2 χ η^{2}}{m (1 - η^{2})} V_{c}^{2} + \frac{2 g d η^{2}}{1 + η^{2}} + \frac{2 χ}{m} V_{c}^{2} - 2 g d \end{matrix}

(17)

egyenletet kapjuk a kritikus feszültségre, melynek megoldása:

\begin{matrix} V_{c} = \sqrt[]{\frac{m g d (1 - η^{2})}{χ (1 + η^{2})}} = V_{k} \sqrt[]{\frac{1 - η^{2}}{2 (1 + η^{2})}} . \end{matrix}

(18)

I_{c}

kritikus áram mellett a kis korong éppen eléri a felső fegyverzetet, azaz

v_{2e} = v_{2u} = 0

, és lezajlik a töltéscsere ‐ hiszen folyik áram ‐, tehát a korongra ható Coulomb-erő iránya, és így az eredő erő nagysága is megváltozik a felső holtponton. A kritikus áram mellett (18) és (13) felhasználásával a

v_{1u}

és

v_{1e}

sebességekre azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} v_{1 u, c} = 2 η \sqrt[]{\frac{g d}{1 + η^{2}}}, v_{1 e, c} = \frac{v_{1 u, c}}{η} = 2 \sqrt[]{\frac{g d}{1 + η^{2}}} . \end{matrix}

(19)

A korong nulla vég-, ill. kezdősebességű egyenletesen lassuló, ill. gyorsuló mozgást végez az emelkedési, ill. süllyedési szakaszon, azonban e két mozgás időtartama nem azonos. A (19) sebességek ismeretében az emelkedés, ill. süllyedés időtartama

\begin{matrix} t_{↑} = \frac{2 d}{v_{1 u, c}} = \frac{1}{η} \sqrt[]{\frac{d (1 + η^{2})}{g}}, t_{↓} = \frac{2 d}{v_{1 e, c}} = \sqrt[]{\frac{d (1 + η^{2})}{g}}, \end{matrix}

(20)

és egy teljes periódus alatt átszállított töltés

2 χ V_{c}

, tehát a kritikus áram:

\begin{matrix} I_{c} = \frac{2 χ V_{c}}{t_{↑} + t_{↓}} = \frac{2 η g}{1 + η^{2}} \sqrt[]{m χ \frac{1 - η}{1 + η}} . \end{matrix}

(21)

Minthogy

0 < η < 1

, a (18) egyenletből látszik, hogy a stacionárius mozgás fenntartásához szükséges

V_{c}

feszültség kisebb, mint a korong felemeléséhez szükséges

V_{k}

feszültség, tehát az áram‐feszültség karakterisztikának hiszterézise van. Például

η = 0, 6

értékű ütközési szám esetén

V_{c} \approx 0,485 \cdot V_{k}

. Az ábra vázlatosan mutatja a rendszer karakterisztikáját és a hiszterézist.