|
Feladat: |
B.3711 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Antal László , Balázs Katalin , Csajbók Bence , Erdélyi Márton , Gehér György , Gyarmati Ákos , Hubai Tamás , Jankó Zsuzsanna , Király Csaba , Kiss Orsolya , Kiss-Tóth Christián , Kovács Péter , Molnár András , Pálinkás Csaba , Strenner Balázs , Szabó Tamás , Szalóki Dávid , Varga Viktor |
Füzet: |
2004/december,
542 - 543. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Valós számok és tulajdonságaik, Függvényvizsgálat, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2004/február: B.3711 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Megmutatjuk, hogy az adott feltételek igen erős megszorítást jelentenek az számokra: közülük legfeljebb három lehet pozitív és ha az indexek növekvő sorrendjében egy kör mentén rendezzük el őket, akkor ez a három nem nulla elem szomszédos. A megoldás során ennek megfelelően ciklikusan értelmezzük az indexeket, tehát stb. A megadott számok összege 2 és egyikük sem negatív. Van tehát köztük pozitív, a szimmetria miatt föltehető, hogy ez . Megmutatjuk, hogy ekkor az -gyel ciklikusan szomszédos két elem összege, és minden további páros indexű elem értéke nulla. Legyen tehát és jelölje a páros indexű elemek összegét. Csoportosítsuk a feltételben adott összeg tagjait kettesével és emeljük ki az ezekben a párokban közös páratlan indexű tényezőket: . A jobb oldal felülről becsülhető: az egyes tagokban , az első tényező pedig nem negatív; a jobb oldal tehát legfeljebb | | Mivel , azért a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség szerint , a teljes egyenlőtlenségláncot figyelembe véve mindenütt egyenlőség van! Így , továbbá , , , , . Mivel , az egyenlőségből valóban következik, és ha figyelembe vesszük, hogy a páros indexű elemek összege, , valóban azt kapjuk, hogy miden további páros indexű elem nulla. A ciklikus szimmetria most már azt jelenti, hogy bármelyik nem nulla elemet közrefogó két elemnek 1 az összege, a velük azonos paritású helyeken álló további elemek értéke pedig nulla. Ebből az is következik, hogy ha két elem indexe ellenkező paritású, akkor mind a kettő csak úgy lehet pozitív, ha szomszédosak. Most két szomszédjának az összege 1, ezért egyikük, például szintén pozitív. A fentiek szerint tehát , a további páratlan indexű elemek, értéke pedig ugyancsak nulla. Emellett és nem szomszédosak, az indexük ellenkező paritású, egyikük tehát ugyancsak nulla. Így pedig miatt vagy értéke 1. Vizsgálatainkat összefoglalva: a megadott feltételek esetén a 2004 darab szám között legfeljebb három nullától különböző van, ezek ciklikusan szomszédosak, közülük a középső értéke 1, két szomszédjának pedig 1 az összege. Az ilyen számokra nyilván teljesülnek a feladat feltételei, befejezésül tehát az összeg legkisebb és legnagyobb értékét kell meghatároznunk az , feltétel mellett. Ez az | | függvény szélsőértékeinek a meghatározását jelenti a intervallumon. A teljes négyzet alakból leolvasható, hogy a függvény legkisebb értéke , a legnagyobb értéke pedig . A 2004 darab szám négyzetösszegére tehát . Ha , , a további elemek értéke pedig nulla, akkor , ha pedig , a további elemek értéke pedig nulla, akkor .
Megjegyzés. A megoldás során kihasználtuk, hogy az elemek száma páros és hogy legalább hat elem van. Ha csak 4 darab számunk van, akkor könnyen igazolható, hogy (a minimum az választással adódik), a páratlan sok szám esete viszont nem látszik könnyűnek. |
|