Kezdőlap


Feladat:	B.3708	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nagy Réka
Füzet:	2004/december, 541. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Thalesz tétel és megfordítása, Hatványvonal, hatványpont, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/február: B.3708

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a $k$ kör középpontja $O$ . Az érintők ismert szerkesztése szerint az $O P$ Thalész köre metszi ki a $k$ körből a $C$ , $D$ érintési pontokat. Legyen az $A B$ húr felezőpontja $F$ . Ekkor az $O F$ szakasz merőleges az $A B$ húrra, $O F P ∢ = 90^{\circ}$ , így a fenti, $k_{1}$ Thalész kör az $F$ ponton is átmegy (1. ábra).

1. ábra

A szelő szakaszok tétele szerint a

k

körben

M A \cdot M B = M C \cdot M D

, a

k_{1}

körben pedig

M C \cdot M D = M F \cdot M P

. A két egyenlőségből kapjuk, hogy

M A \cdot M B = M F \cdot M P

. Bevezetve az

x = M A

jelölést

M B = 1 - x

M F = \frac{1}{2} - x

, végül

M P = 1 + x

(2. ábra). Az egyenlet:

x (1 - x) = (\frac{1}{2} - x) (1 + x)

. Ennek megoldása

x = \frac{1}{3}

, a

P M

távolság tehát

P A + A M = 1 + x = \frac{4}{3}

2. ábra