Kezdőlap


Feladat:	C.767	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2004/november, 472. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Nevezetes azonosságok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/május: C.767

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Rendezzük át az egyenletet, s utána emeljük négyzetre mindkét oldalát:

\begin{matrix} \sqrt[]{a - b + c} + \sqrt[]{b} = \sqrt[]{a} + \sqrt[]{c}, \\ a - b + c + 2 \sqrt[]{b} \sqrt[]{a - b + c} + b = a + 2 \sqrt[]{a c} + c . \end{matrix}

Rendezés után kapjuk, hogy

\sqrt[]{a b - b^{2} + b c} = \sqrt[]{a c}

. Az egyenlőség akkor teljesül, ha

a b - b^{2} + b c = a c

. Szorzattá alakítva az

(a - b) (b - c) = 0

egyenlethez jutunk.
Innen adódik, hogy vagy

b = a

és

c

tetszőleges, vagy

b = c

és

a

tetszőleges nem negatív szám. Helyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy ezek valóban megoldásai az egyenletnek.