Kezdőlap


Feladat:	C.758	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2004/november, 470. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Trigonometriai azonosságok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/március: C.758

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Számítsuk ki a derékszögű háromszög harmadik oldalának hosszát:

\begin{matrix} c = \sqrt[]{1^{2} + {(\sqrt[]{2})}^{2}} = \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Mivel

1 < \sqrt[]{2} < \sqrt[]{3}

, a háromszög legkisebb oldala 1, a szemközti szög

α

, így

\begin{matrix} cos α = \sqrt[]{\frac{2}{3}} . \end{matrix}

Az ismert azonosság szerint:

\begin{matrix} cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1. \end{matrix}

Esetünkben

cos 2 α = 2 \cdot \frac{2}{3} - 1 = \frac{1}{3}

. Az azonosságot ismételten felhasználva kapjuk, hogy

cos 4 α = - \frac{7}{9}

, és

cos 8 α = \frac{17}{81}