Kezdőlap


Feladat:	3663. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Matiovics Máté , Mezei Márk
Füzet:	2004/október, 442 - 443. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszer energiája, Egyéb egyenesvonalú mozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/december: 3663. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a cicák sebességét $v_{C}$ -vel és $v_{M}$ -mel, a megfelelő tömegeket pedig $m_{C}$ -vel és $m_{M}$ -mel!
$a)$ Culu sebességét Muluhoz viszonyítva a $V = v_{C} - v_{M}$ vektor adja meg, ennek nagysága Pitagorasz tétele szerint

\begin{matrix} V = \sqrt[]{{| v_{C} |}^{2} + {| v_{M} |}^{2}} = \sqrt[]{{(4 \frac{m}{s})}^{2} + {(2 \frac{m}{s})}^{2}} \approx 4, 5 \frac{m}{s} . \end{matrix}

b)

A tömegközépponti rendszerben (ahonnan nézve a ,,rendszer'' összimpulzusa nulla) mindkét cica impulzusa ugyanakkora nagyságú (és ellentétes irányú). A Mulunál háromszor kisebb tömegű Culu sebessége tehát ‐ ebben a koordináta-rendszerben ‐ Mulu sebességének háromszorosa.

c)

Tekintsünk egy olyan koordináta-rendszert, amelynek

x

tengelye Mulu mozgásiránya,

y

tengelye Culu mozgásiránya, és legyen ennek a vonatkoztatási rendszernek a sebessége az utcákhoz képest

(v_{x}, v_{y})

. Ebben a rendszerben a két cica összes mozgási energiája (az SI-beli mértékegységek elhagyásával)

\begin{matrix} E & = & \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot [{(2 - v_{x})}^{2} + v_{y}^{2}] + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot [v_{x}^{2} + {(4 - v_{y})}^{2}] = \\ = & 4 v_{x}^{2} + 4 v_{y}^{2} - 12 v_{x} - 8 v_{y} + 28 = 4 {(v_{x} - 1, 5)}^{2} + 4 {(v_{y} - 1)}^{2} + 15. \end{matrix}

Ez a kifejezés akkor minimális, ha

v_{x} = 1, 5

és

v_{y} = 1

, ami éppen a két cica tömegközéppontjának sebességével egyezik meg, s ekkor

E = E_{TKP} = 15 J

Megjegyzés. Azt a tényt, hogy a cicák összes mozgási energiája a tömegközépponti vonatkoztatási rendszerben a legkisebb, a következőképpen is beláthatjuk.
Egy pontrendszer (a jelen esetben a cicákat ilyen rendszernek tekintjük) mozgási energiája tetszőleges koordináta-rendszerben 2 tag összegeként írható fel. Az egyik tag a tömegközéppont sebességével mozgó és a rendszer össztömegével megegyező tömegű test mozgási energiája, a másik pedig a tömegközépponthoz viszonyított mozgások sebességéből számolt energia. A két tag összege nyilván akkor a legkisebb, ha a tömegközéppont sebessége nulla, vagyis ha éppen a tömegközépponti koordináta-rendszerben vagyunk.
Az utcákhoz rögzített rendszerben a cicák mozgási energiája összesen 28 J, a tömegközéppontba képzelt össztömegnek megfelelő mozgási energia 13 J, a tömegközépponthoz viszonyított mozgási energia a fenti két érték különbsége, azaz 15 J.