Feladat: B.3706 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bitai Tamás ,  Hujter Bálint 
Füzet: 2004/szeptember, 350 - 351. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kocka, Térfogat, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gúlák, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/február: B.3706

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A feladatban szereplő test előállítható úgy, hogy a kiindulási kocka minden lapjára egy-egy gúlát emelünk (1. ábra). Ezeknek a gúláknak az alaplapja a kocka megfelelő lapja, oldallapjaikat pedig a kocka megfelelő lapjára illeszkedő négy-négy élére helyezett síkok határozzák meg. A kocka szimmetriája miatt ezek a gúlák egybevágóak.

 
 

1. ábra
 

A gúlák testmagasságának meghatározásához tekintsük a testnek egy olyan síkkal való metszetét, amely a kocka valamelyik élének felezőmerőleges síkja. Egy ilyen sík a kockának három másik, a kiválasztott éllel párhuzamos élét is felezi, a hat gúla közül pedig négynek a csúcsát tartalmazza (2. ábra). Mivel a kocka éleire helyezett síkok 45∘-os szöget zárnak be a kocka lapjaival, ezért az ábrán α-val jelölt szögek 45∘-osak. Vagyis a négy kis háromszög mindegyike egyenlő szárú és derékszögű, ezért az ábrán m-mel jelölt magasságuk ‐ ami egyúttal a gúlák magassága is ‐ hossza éppen az átfogó fele, vagyis 12.
 
 

2. ábra
 

Tehát a kis gúlák térfogata 1⋅1⋅123=16, s így a test térfogata 1+6⋅16=2 térfogategység.
 
II. megoldás. Tekintsük a kocka két-két testátlója által meghatározott összesen hat darab síkot. Ezen síkok mindegyike a kocka két-két élére illeszkedik, s a kockának az ezen éleket tartalmazó lapsíkjaival 45∘-os szögeket zár be. (Egy ilyen síknak a kocka belsejébe eső része látható a 3. ábrán.) Ezek a síkok a kockát hat darab négyzetalapú gúlára bontják, a kocka középpontja a hat gúla közös csúcsa. Tükrözzük e hat gúla mindegyikét a kocka megfelelő lapsíkjára. Mivel a gúlák oldallapjai a kocka megfelelő lapsíkjával 45∘-os szöget zárnak be, ezért a tükörképeik 90∘-45∘=45∘-os szöget zárnak be a megfelelő lapsíkokkal. Vagyis éppen a feladatunkban szereplő síkokat, és így az azok által határolt testet kapjuk.
 
 

3. ábra
 

Tehát a síkok által határolt konvex test 12 egybevágó gúlából áll, s ezért térfogata az eredeti kocka térfogatának kétszerese, vagyis 2 térfogategység.
 
Megjegyzés. A feladatban vizsgált test a rombikus dodekaéder (mert 12 lapja van és azok mindegyike rombusz). A testnek sok érdekes tulajdonsága van, ezekről részletes leírást találhat az érdeklődő olvasó pl. H. S. M. Coxeter: A geometriák alapjai című könyvének 22.4. fejezetében.